pull-in دینامیکی را برای سوئیچهائی که با یک ولتاژ پله تحریک می شدند مورد تجزیه و تحلیل قرار دادند. هر دو تحقیق به این نتیجه رسیدند که ولتاژ pull-in دینامیکی می تواند به اندازه ۹۱% ولتاژ pull-in استاتیکی باشد.

۲-۳ مطالعه ی تئوری تنش کوپل در سیستمهای میکروالکترومکانیکی
شنگ لی^[۵۶] و همکارانش [] آنالیز استاتیکی و دینامیکی میکروتیرها را با تئوری گرادیان کرنش الاستیسیته در سال ۲۰۰۹ انجام دادند. آنها با اصل حساب تغییرات معادلات استاتیکی و دینامیکی حاکم بر تیرهای اویلر-برنولی را بر مبنای تئوری گرادیان کرنش الاستیسیته مربوط به Lam بدست آوردند. در ادامه با حل دو مسئله ی مقدار مرزی برای تیرهای یک سر گیر دار، پاسخ تیر نسبت به بارگذاریهای خمشی و همچنین فرکانسهای طبیعی آن را برای هر دو حالت مسئله ی مقدار مرزی ارائه دادند. معادله دیفرانسیل حاکم بر مسئله بر مبنای این تئوری را یک معادله پاره ای مرتبه شش بدست آوردند و با معادله ی حاکم بر تیرها بر مبنای تئوری تنش کوپل اصلاح شده یک معادله پاره ای مرتبه چهار است مقایسه کردند و در نهایت این نتیجه را ارائه دادند که به ازای بار واحد تغییر شکلها در تئوری گرادیان کرنش الاستیسیته نسبت به تئوری تنش کوپل اصلاح شده کمتر است. بنابراین سفتی میکرو تیر در تئوری اولی بیشتر است. وانگ^[۵۷] و همکاران [] تاثیر اثرات اندازه را بر روی رفتار مکانیکی میکروتیر تحریک شده با نیروی الکتریکی را با تئوری الاستیسیته گرادیان کرنش انجام دادند. آنها به این نتیجه رسیدند که وقتی ضخامت تیر در مرتبه پارامترهای مقیاس طولی ماده کاهش می یابد، ولتاژ ناپایداری pull-inاستاتیکی به صورت غیر خطی افزایش می یابد و این اثر در ضخامتهای نزدیک مقیاس های طولی ماده بیشتر و برجسته تر خود را نشان می دهد. . ژائو و همکاران[] معادله دیفرانسیل غیر خطی حاکم بر رفتار میکرو تیر را بر اساس تئوری الاستیسیته گرادیان کرنش استخراج کردند و با ترکیب تئوری گرادیان کرنش و اصل همیلتون تغییر شکل استاتیکی غیر خطی و همچنین مسئله پس-کمانش و ارتعاشات آزاد غیر خطی تیر را تحلیل نمودند. تغییر شکل استاتیکی میکروتیر دو سر گیردار تحت نیروی عرضی و بار بحرانی کمانش و فرکانسهای غیرخطی میکرو تیر دو سر مفصلی با تغییر شکل جانبی اولیه را تحلیل نمودند. آنها به این نتیجه رسیدند که وقتی پارامتر طولی ضخامت با پارامتر طولی داخلی همان مقیاس طولی برابر باشند اثرات اندازه اهمیت ویژه ای می یابند که تئوریهای کلاسیک رفتار ماده را درست پیش بینی نکرده بلکه رفتار چنین سیستمی حتما باید از تئوری مراتب بالاتر الاستیسیته گرادیان کرنش انجام شود.
بخاطر سختی تعیین ثوابت مربوط به اثرات اندازه و رهایی از پیچیدگی معادلات درجه شش، یانگ^[۵۸] و همکاران [] در سال ۲۰۰۲ تئوری اصلاح شده ی تنش کوپل^[۵۹] را ارائه کردند که تنها با تاثیر یک ثابت اضافی اثرات اندازه را وارد معادلات حرکت کردند. مدل جدید برای خمش تیر اویلر-برنولی با بهره گرفتن از MCST توسط پارک^[۶۰] و ژائو^[۶۱] [] توسعه یافت. روش حساب تغییرات بر مبنای اصل مینیمم انرژی پتانسیل کل بکار گرفته شد تا مدل جدید فرمولاسیون تیر اویلر-برنولی که شامل یک پارامتر طول مشخصه درونی ماده بود را توسعه دهند. ین^[۶۲] و همکارانش [] رفتار استاتیکی میکروتیر تحریک شده با میدان الکتریکی را بر اساس تئوری اصلاح شده ی کوپل تنش بررسی کردند. آنها به این نتیجه رسیدند مقدار ولتاژ pull-in استاتیکی تعیین شده با این تئوری بیشتر از تئوری کلاسیک میباشد و وقتی ضخامت تیر در مقایسه با طول مشخصه -که مربوط به اثرات اندازه ماده می باشد- خیلی بزرگ باشد این تفاوت کمتر شده و نتایج به نتایج تئوری کلاسیک میل می کند. کونگ^[۶۳] و همکاران [] مسئله تیرهای اویلر برنولی را از تئوری اصلاح شده ی کوپل تنش تحلیل استاتیکی و دینامیکی نمودند. آنها شرایط مرزی و معادلات حاکم را از ترکیب معادلات پایه با اصل همیلتون استخراج کردند و مسئله مقدار مرزی را برای دو نوع شرایط مرزی (تیر دو سر مفصلی و تیر یکسر گیردار) برای بررسی فرکانس­های طبیعی حل کردند و اثرات اندازه بر رفتار تیر را مورد ارزیابی قرار دادند. تغییر شکل و ولتاژ
pull-in استاتیکی برای میکرو تیر یک سر گیر دار تحت تحریک الکتروستاتیکی بر مبنای تئوری اصلاح شده ی کوپل تنش توسط رهائی فرد^[۶۴] و همکارانش [] مورد بررسی قرار گرفت. آنها نتایج بدست آورده شان را با مشاهدات تجربی و نتایج مربوط به تئوری کلاسیک مقایسه کردند و به این نتیجه رسیدند که بکارگیری تئوری کوپل تنش میتواند فاصله ی بین مشاهدات تجربی و نتایج مربوط به تئوری کلاسیک برای مقادیر ولتاژهای pull-in را کاهش دهد.
۲-۴ مطالعه رفتار تیرها و ساختارهای FGM
اخیرا مسایل مربوط به تغییر شکل استاتیکی و دینامیکی تیرهای ساخته شده از مواد متغیر تابعی مورد توجه محققان زیادی قرارگرفته است با توجه به افزایش کاربردشان، آنها به طور گسترده ای در مطالعات تحقیقاتی در بسیاری از زمینه های مهندسی در طول چند سال گذشته دیده می شوند. بنابراین تجزیه و تحلیل رفتار استاتیکی و دینامیکی سازه ها و تیرهای FGM بسیار مهم است و در بسیاری از تحقیقات در مقیاس ماکروسکوپی ملاحظه می شود:
سنکر^[۶۵] [] یک راه حل الاستیسیته بر اساس تئوری تیر اویلر- برنولی برای تیرهای FGM در معرض بارهای استاتیک عرضی با فرض اینکه مدول یانگ تیر بصورت نمایی در راستای ضخامت تغییر می کند، ارائه داد. ژنگ ژونگ^[۶۶] [] یک راه حل کلی برای تیر FGM یک سرگیردار با تغییرات
درجه بندی شده دلخواه توزیع خواص مواد بر اساس تئوری دوبعدی الاستیسیته ارائه داد. لی^[۶۷] [] یک روش جدید یکپارچه برای تجزیه و تحلیل رفتار استاتیکی تیرهای FGM شامل اینرسی دورانی و تغییر شکل برشی ارائه کرد. کاپوریا^[۶۸] و همکاران [] یک مدل بر مبنای تئوری زیگزاگ مرتبه سوم برای تیرهای FGM لایه بندی شده در ارتباط با قانون اصلاح شده اختلاط (MROM) برای مدول موثر الاستیسیته از طریق آزمایشات برای پاسخ استاتیکی و ارتعاشی آزاد را معتبر ساختند. آیدوغدو^[۶۹] و تسکین^[۷۰] [] رفتار ارتعاشات آزاد تیر FG تکیه گاه ساده با بهره گرفتن از تئوری تیر اویلر- برنولی، تئوری تغییر شکل برشی سهموی و تئوری تغییر شکل برشی نمایی بررسی کردند. غریب و همکاران [] بر روی سازه های هوشمند کار کردند و یک راه حل تحلیلی تیرهای FGM با لایه های حسی و محرک پیزوالکتریک ارائه کردند. پیووان^[۷۱] و سامپایو^[۷۲] [] روی ارتعاشات تیرهای FGM متحرک انعطاف پذیر مطالعه کردند و یک فرمولبندی برای این تیرها بر مبنای تئوری اویلر- برنولی بدست آوردند. ژیانگ^[۷۳] و شی^[۷۴] [] آنالیز استاتیکی محرکها یا سنسورهای پیزوالکتریک FGM (FGMPM) را تحت هدایت حرارتی یک بعدی مطالعه کردند. ینگ^[۷۵] و همکاران [] راه حل دقیقی برای ارتعاش خمشی و آزاد تیرهای FG تکیه داده به یک پایه (فونداسیون) الاستیک به دست آوردند. سینا و همکاران [] یک تئوری تیر جدید متفاوت از تئوری تیر تغییر شکل برشی مرتبه اول سنتی برای آنالیز کردن ارتعاشات آزاد تیرهای FG استفاده کردند. شیمشک^[۷۶] و کوجاترک^[۷۷] ]-] ارتعاشات آزاد و اجباری تیر FGM را تحت یک بار متمرکز هارمونیک در حال حرکت بررسی کردند و معادله دینامیکی حاکم بر حرکت را با بهره گرفتن از روش انتگرال گیری زمان ضمنی Newmark- حل کردند. همچنین شیمشک [[ فرکانس اساسی تیرهای FG دارای شرایط مرزی مختلف را در چارچوب تئوری های تیر کلاسیک، مرتبه اول و تغییر شکل برشی مرتبه بالاتر آنالیز کرد. خلیلی و همکاران [] یک روش مخلوطی را برای مطالعه رفتار دینامیکی تیرهای FG در معرض بارهای متحرک ارائه کردند. فرمولاسیون های نظری بر مبنای تئوری تیر اویلر- برنولی هستند، و معادلات حاکم بر حرکت سیستم با بهره گرفتن از معادلات لاگرانژ بدست آمدند. ماهی^[۷۸] و همکاران [] راه حل دقیقی برای مطالعه ارتعاشات آزاد تیر ساخته شده از مواد FGM متقارن ارائه کردند. فرمولهای مورد استفاده بر مبنای تئوری تغییر شکل برشی یکپارچه مرتبه بالاتر هستند. تیر فرض می شود در ابتدا تحت تنش بوسیله یک افزایش دمایی در راستای ضخامت باشد. تمامی این مقالات مورد بررسی در مقیاس ماکروسکوپی می باشد. حسن یان^[۷۹] و همکاران [] ناپایداری های پولین در سیستمهای الکترومکانیکی ساخته شده از مواد FG ناشی از حرارت تولید شده توسط جریان الکتریکی مطالعه کردند. به تازگی، جیا^[۸۰] و همکاران [] خصوصیات پولین غیر خطی میکروسوئیچ های ساخته شده از هر دو مواد همگن یا مواد FGM غیر همگن با دو فاز مواد تحت نیروهای الکترواستاتیک و بین مولکولی ترکیبی بررسی کردند. تاثیر ترکیب مواد، نسبت فاصله، نسبت لاغرى، نیروی بین مولکولی، تنش باقیمانده محوری روی ناپایداری پولین نشان داده شد. اصغری و همکاران [] مطالعه ای بر روی رفتار وابسته به اندازه میکروتیرهای FGMs انجام دادند که بر اساس تئوری تنش کوپل اصلاح شده در محدوده الاستیک بصورت تحلیلی انجام شده است.
۲-۵ هدف و ضرورت انجام تحقیق
مطالعه ای در مورد میکرو دماسنج خازنی MEMS بر اساس خیز نوک تیر یک سرگیردار دوفلزی انجام گرفته و معادلات ترمومکانیکی حاکم نتیجه گرفته شد و به صورت تحلیلی حل شد. افزایش دما با تغییرات خازنی یک دنده شانه ای بیان شد. مقایسه نتایج خیز تیر با نتایج موجود، بسیار خوب بود []. مطالعه های در مورد رفتار ترمومکانیکی یک میکروتیر دو لایه ای[] و FGM [] تحت تاثیر فشار الکترواستاتیک غیر خطی و تغییرات دما انجام گرفته اند. معادلات ترموالکتریکی مکانیکی انتگرودیفرانسیلی غیر خطی بر مبنای تئوری تیر اولر- برنولی بدست آمدند و با بهره گرفتن از روش خطی سازی گام به گام و روش دیفرانسیل محدود حل شدند. تاثیر تغییرات دما روی ناپایداری استاتیکی میکروتیر به سبب حالت غیر خطی بوجود آمده با کاربرد نیروهای الکترواستاتیک مورد تحقیق و رسیدگی قرار گرفت. در این مدلها، نشان داده شده همچنانکه دما افزایش می یابد، ولتاژ کاربردی کاهش می یابد. یک سنسور حرارتی کنترل از راه دور^[۸۱] بر اساس تیر دولایه ی یک سر گیر دار توسط رضازاده^[۸۲] و همکاران [] اخیرا طراحی شده است. سنسور طراحی شده توسط آنها دمای منبع حرارتی را که به طریق تشعشع با میکرو تیر تبادل حرارتی دارد را اندازه گیری می کند.
با کاربرد همزمان تاثیر نیروهای الکترواستاتیک و گشتاور دمایی، پارمترهای pull-in می تواند تغییر کند. با وجود مطالعات زیاد انجام گرفته در زمینه های فوق الذکر، هنوز بررسی اثر تغییرات دمای ناشی از تشعشع روی پایداری میکروتیرها مخصوصا میکروتیرهای FGM که توسط نیروهای الکترواستاتیکی، چه به صورت استاتیکی و چه به صورت دینامیکی، فعال شده اند، خلائی است که در مطالعات انجام گرفته تاکنون به چشم می خورد. این پایان نامه با بهره گرفتن از یک تیر یک سر گیردار FGM به مطالعه استاتیکی و دینامیکی تاثیر این عوامل در رفتار و واکنش سیستمهای MEMS و پایداری آنها می پردازد. این کار توسط استخراج معادلات دیفرانسیلی غیرخطی حاکم بر مساله، خطی سازی آنها و حل معادلات نهائی به صورت عددی و با برنامه نویسی کامپیوتری انجام می گیرد.
مقالاتی که تا کنون به رفتار ترمومکانیکی میکروتیرهای خازنی چند لایه و یا FG پرداخته اند، همگی از تئوریهای کلاسیک استفاده کرده اند و تا کنون از هیچکدام از تئوریهای غیر کلاسیک برای این منظور استفاده نشده است. در این پایان نامه با بکارگیری تئوری اصلاح شده ی تنش کوپل به تحلیل رفتار ترمومکانیکی یک میکروتیر خازنی FG که در معرض شرایط مرزی تشعشع و جابجایی حرارتی است، پرداخته میشود. به منظور اعتبار سنجی، نتایج حاصل با نتایج تئوری کلاسیک مقایسه می شود. پیش بینی میشود با توجه به اینکه تئوری اصلاح شده ی کوپل تنش با وارد کردن طول مشخصه ی ماده در معادلات ساختاری خصوصیات ماده را نیز در نظر می گیرد، نتایج متفاوتی نسبت به تئوری کلاسیک حاصل شود.
فصل سوم
ارائه مدل مورد مطالعه و استخراج معادلات حاکم
۳-۱ معرفی سیستم مورد مطالعه
شماتیک سه بعدی یک میکروتیر یک سر گیر دار خازنی FGM در شکل(۴-۱) نشان داده شده است. میکروتیر از صفحه ای به طول ، عرض و ضخامت تشکیل شده است. میکرو تیر مورد مطالعه توسط فاصله هوائی به ضخامت از صفحه صلب و ثابتی جدا شده است. یک صفحه داغ به طول در سمت بالا و به فاصله ی محدود از تیر به طریق تشعشع حرارتی باعث گرم شدن تیر میشود و یک منبع ولتاژ DC برای ایجاد نیروی الکترواستاتیکی در طول تیر مورد استفاده قرار
می گیرد. نقطه ی مرجع محورهای مختصات کارتزین روی محور مرکزی تیر و در طرف گیردار آن فرض شده است. به صورتیکه، محور در جهت طول، محور در جت عرض و محور در جهت ضخامت (جهت مثبت رو به پایین) در نظر گرفته شده است.

مدل مورد مطاله تحت بارگذاریهای مختلف به شرح زیر مورد بررسی قرار می گردد:
۱٫ تغییرات دمائی (به دلیل ضریب انبساط حرارتی متغیر در امتداد ضخامت میکروتیر FGM ، تغییرات دما ایجاد خیز می کند).
۲٫ نیروهای الکترواستاتیکی ناشی ازاعمال ولتاژ.
فرض شده است که سطح بالایی از فلز خالص ولی سطح زیرین از مخلوطی از فلز و سرامیک تشکیل شده باشد. همچنین فرض شده است که درصد ماده سرامیک سطح پایینی از ۰% تا ۱۰۰% متغیر است. با ذکر این نکته که درجه بندی مواد فقط در جهت ضخامت تغییر میکند. اگر فرض کنیم که و کسرهای حجمی سرامیک و فلز ی باشند که تیر از آنها ساخته شده است، بدیهی است که:

که زیر نویسهای c و m به ترتیب برای سرامیک و فلز در نظر گرفته شده است. به منظور تعیین خواص فیزیکی سطح پایینی ()، از قانون کسر حجمی مواد استفاده شده است []: