برنامه‌ریزی پارامتریک فازی، رویکرد برنامه‌ریزی ریاضی فازی است که به‌وسیله کارلسن و کرهنن^[۱۰] معرفی شد. وقتی این مدل به مساله عملی اعمال می‌شود، پارامترها نمی‌توانند دقیقاً مشخص‌شوند، اما می‌توانند به‌وسیله داده‌های موجود تخمین‌زده شوند. در واقعیت، برای یک جواب مهم است که به طور هم‌زمان، بهینه و قابل اجرا باشد. درجه قابل اجرا بودن جواب با تابع عضویت داده می‌شود، که می‌تواند از درجات دقت پارامترها حاصل شود.

بعضی اوقات، همه‌ی ضرایب یک مساله برنامه‌ریزی خطی غیرقطعی هستند، که مانند زیر می‌تواند فرمول‌بندی شود:
که در آن،
فرض کنید بازه‌ها برای مقادیر ممکن پارامترهای فازی به‌وسیله تصمیم‌گیرنده تعیین شوند[a^L,a^U). به طور کلی، کران پایین a^L ، نمایان‌گر مقادیر” بدون ریسک” است، به طوری که جواب بدست آمده با این مقادیر باید قابل اجرا باشد. از طرف دیگر، کران بالا a^U، نمایان‌گر مقادیری از پارامتر است که غیر‌واقعی"ناممکن” می‌باشند. جواب بدست آمده با بهره گرفتن از این مقادیر قابل اجرا نیست و تصمیم‌گیری با بهره گرفتن از آن بالاترین ریسک را برای تصمیم‌گیرنده در‌پی ‌دارد. حرکت از مقادیر پارامتری بدون ریسک به ناممکن، مانند این است که از جواب‌های با درجه بالا از نظر قابلیت اجرایی شدن، به سمت درجه پایین برویم (اریکن و جنجر^[۱۱]). در کل a^L, a^U به‌ترتیب به عنوان دیدگاه خوش‌‌بینانه و بدبینانه تصمیم‌گیرنده مطرح‌شوند. برای مساله بالا کارلسن و کرهنن رویکرد موازنه‌ای ارائه کردند. آن‌ها بیان‌کردند که رویکرد چاناس^[۱۲]، هیچ یک از موازنه‌های پیوسته میان درجات نقض محدودیت‌ها را در‌نظر‌نمی‌گیرد. مثلاً، اگر  و  ، آن‌گاه  . بنابراین، جواب بهتری از طریق آزادکردن  ای که بزرگ‌تر از  و تا  باشد، با موازنه با  بدست می‌آید. مشخصاً  کمتر از  است و لذا جواب بهتر با یک درجه ارضا بالاتر ممکن است با  بدست آید.
قبل از این‌که به روش حل بپردازیم، جواب  به صورت غیر فازی، یک تابع ناافزایشی از پارامترهای -A و bو cمورد نیاز است. هم‌چنین فرض می‌کنیم که کاربر می‌تواند بازه‌های  ،  و  را برای مقادیر ممکن پارامترها مشخص کند.
کارلسن و کرهنن، رابطه‌ای جدید میان جواب مسأله و پارامترهایش ارائه دادند: جواب  تابعی نا افزایشی از پارامترهای -A ، bو c است. بنابراین، می‌توان به طور منطقی در نظر گرفت که توابع عضویت، توابع کاهشی از پارامترهای -A ، bو c هستند. توابع یکنواخت کاهشی ممکن است خطی، هیپربولیک، نمایی و غیره باشند. اگر تابع نمایی را در نظر بگیریم (شکل۳-۶):

که در آن  یا  و  . اگر  ، آن‌گاه  . اگر  باشد، آن‌گاه  .  را تصمیم گیرنده تعیین می‌کند. برای یک مسأله بیشینه‌سازی، توابع عضویت تابع هدف، باید در مفهوم اولویت، نا‌کاهشی باشند. پس از موازنه کامل میان -A ، bو c، یک جواب همواره در  وجود دارد.
بنابراین، به معادله زیر می‌رسیم:
,
که در آن،  ،  ،  و  توابع وارون  ,  و  هستند.
سپس مسأله به شکل زیر در می‌آید.

که به وضوح مسأله ای غیر‌خطی است، هرچند که، اگر  داده‌شود، به‌وسیله هر روش برنامه‌ریزی خطی می‌تواند مشخص‌ شود. بنابراین، می‌توان مجموعه جوابی متناظر با مجموعه‌ای از درجات عضویت  بدست آورد و سپس به جواب‌های دوتایی  رسید. با ارجاع به این رابطه، تصمیم‌گیرنده می‌تواند جوابی را که خود ترجیح می‌دهد برگزیند.

شکل۳-۶- تابع عضویت یک مجموعه فازی c.
تشریح مساله
پس از رخ‌دادن بلایای طبیعی، مهم‌ترین واکنش خدمت‌رسانی به قربانیان حادثه است. در مساله پیش رو، هدف رساندن کالاهای امدادی به مردم آسیب دیده است، به‌گونه‌ای که هزینه عملیات امداد رسانی کمترین و پاسخگویی به تقاضا بیشترین شود.
برای رساندن کالاهای امدادی به نواحی فاجعه دیده ساختار زنجیره تأمین سه سطحی را در نظر داریم (شکل ۳-۸). در سطح اول، انبارهای کالاهای امدادی قرار می‌گیرند. انبارها تسهیلاتی دایمی هستند، تعداد و مکانشان پیش از رخ‌دادن حادثه مشخص هستند. در سطح دوم تسهیلات موقتی به نام مراکز توزیع قرار دارند. تعداد و مکان این تسهیلات از پیش تعیین شده‌است و از میان این مکان‌ها، بهترین‌ها برای فعال شدن گزینش می‌شوند، به‌گونه‌ای که هزینه انتقال کالاهای امدادی در نهایت کمترین شود. درسطح سوم، نواحی فاجعه‌دیده قرار می‌گیرند. آمار دقیق و قطعی از قربانیان فاجعه بلافاصله پس از رخ‌داد مشخص نیست، بنابراین تقاضای کالاهای امدادی و درپی آن، کمک‌های داوطلبانه مردمی و پشتیبانی دولت را به صورت پارامترهای فازی درنظر می‌گیریم. کمک‌های داوطلبانه مردمی به مراکز توزیع فرستاده می‌شوند. انبارها، دارای موجودی ابتدایی از انواع کالاهای امدادی هستند و پشتیبانی‌های دولت نیز در ابتدای دوره‌ی امدادرسانی به انبارها فرستاده می‌شوند.
زنجیره تأمین را به صورت شبکه در نظر می‌گیریم و در آن، انبار‌ها را نقاط عرضه، مراکز توزیع را نقاط میانی و نواحی فاجعه‎‌دیده را نقاط آسیب‌دیده می‌نامیم. مسیرهای شبکه، راه‌های موجود در کشور هستند. سه نوع مسیر را درشبکه در نظر می‌گیریم. نوع اول مسیر‌ها یا کمان‌های اتصال‌دهنده نقاط عرضه به نقاط آسیب‌دیده است (SD). نوع دوم راه‌ها یا کمان‌های ارتباطی از نقاط عرضه به نقاط میانی است (SI) . نوع سوم، راه‌ها یا کمان‌های مرتبط‌کننده نقاط میانی به نقاط آسیب‌دیده هستند (ID) (شکل ۳-۸).
دراین مساله انواع مختلف حالت‌های حمل‌و‌نقل، در نظر گرفته شده‌اند و می دانیم که کدام وسیله حمل و نقل از کدام‌یک از مسیرها می‌گذرد. هم‌چنین پس از رخ‌دادن حادثه می‌دانیم که کدام مسیرها مسدود شده‌اند و لذا امکان گذشتن وسایل حمل و نقل مورد نظر از آن‌ها وجود ندارد.
در این مساله می‌خواهیم توزیع عادلانه‌ای از انواع مختلف کالاهای امدادی در میان مناطق متفاوت حادثه دیده داشته‌باشیم، یعنی توزیع طوری باشد که از رسیدن مقدار حداقلی از همه‌ی انواع کالاهای امدادی، به همه‌ی نواحی فاجعه دیده مطمئن باشیم.

شکل۳- ۷- لجستیک امدادی سه سطحی و کمان‌های ارتباط‌دهنده سطوح.
فرضیات مساله
تعداد و مکان نقاط عرضه (انبار) مشخص و قطعی هستند.
تعداد و مکان نامزد برای مراکز توزیع (نقاط میانی) مشخص و قطعی هستند.
تعداد و مکان نقاط آسیب‌دیده پس از اتفاق افتادن حادثه طبیعی مشخص ‌هستند.
نقاط عرضه یا انبارها ظرفیت مشخصی برای دریافت و ارسال کالاها دارند.
نقاط میانی یا مراکز توزیع ظرفیت مشخصی برای دریافت و ارسال کالاها دارند.
کمان‌های شبکه، راه‌های ارتباط دهنده از نقاط عرضه به مراکز توزیع، از مراکز توزیع به نقاط آسیب‌دیده و از نقاط عرضه به نقاط آسیب‌دیده هستند.
انواع متفاوت کالاهای نجات را در نظر می‌گیریم.
حجم و وزن کالاها مشخص هستند.
هر وسیله نقلیه‌ای ظرفیت خاص و مشخصی برای حمل بار دارد.
هر حالت حمل و نقل از راه‌های مخصوص به خود استفاده می‌کند.
امکان مسدود شدن راه‌ها پس از فاجعه وجود دارد.
تقاضای نقاط آسیب‌دیده، کمک‌های دولتی و مردمی به صورت پارامتر فازی در نظر گرفته شده‌اند.
نمادها ی مدل ریاضی
N: مجموعه نقاط شبکه.
SP: مجموعه نقاط عرضه (انبار). اندیس
IP: مجموعه نقاط میانی (مراکز توزیع). اندیس
DP: مجموعه نقاط آسیب‌دیده. اندیس
MV : انواع وسایل نقلیه. اندیس
RC: انواع کالاهای امدادی. اندیس
پارامترهای مدل ریاضی
W_r : وزن کالای نوع .r
M: عدد مثبت بزرگ.
: کمک‌های دولتی از کالای نوع r ام به نقطه عرضه sام.
: کمک‌های مردمی از کالای نوع r ام به نقطه میانی iام.
AC_i : هزینه ثابت فعالسازی مرکز توزیع iام.
CX_sim: هزینه انتقال کالاهای امدادی از sبه i با وسیله نقلیه نوع .m