اگر رابطه­ای مانند yt = β xt + ut را در نظر گرفته و در آن ut را به منزله خطای عدم تعادل تلقی کنیم، اگر قرارباشد مفهوم تعادل در رابطه با دومتغیر x و y معنایی داشته باشد، انتظارمی­رود جمله خطای مربوط به عدم تعادل ut در حول و حوش میانگین خود نوسان کند و گرایش سیستماتیکی به کوچک شدن درطول زمان نشان دهد. حداقل شرطی که دراین مورد برای تعادل لازم است آن است که متغیرهای دخیل در رابطه نباید در طول زمان خیلی از هم جدا افتاده و فاصله بگیرند. در چنین صورتی اصطلاحاً می­گویند که دو متغیر x و y همجمع هستند. بنابراین مفهوم همجمعی آن است که وقتی دو یا چندمتغیر سری زمانی براساس مبانی نظری با یکدیگر ارتباط داده می­شوند تا یک رابطه تعادلی بلندمدت را شکل دهند، هرچند ممکن است خود این سری‌های زمانی دارای روندی تصادفی بوده باشند (ناپایا باشند) اما درطول زمان یکدیگررا به خوبی دنبال می‌کنند به گونه ­ای که تفاضل بین آنها باثبات (پایا) است. بنابراین مفهوم همجمعی تداعی کننده وجود یک رابطه تعادلی بلند مدت است که سیستم اقتصادی درطول زمان به سمت آن حرکت می­ کند.

از میان روش­های آزمون هم­جمعی می­توان به آزمون انگل – گرنجر^[۴۷]، انگل – گرنجر تعمیم یافته^[۴۸] و آزمون همگرایی یوهانسن^[۴۹]اشاره­کرد. نکته حائز اهمیت دیگری که در داده ­های سری زمانی و به تبع آن در مدل‌های خودرگرسیونی^[۵۰]وجود دارد انتخاب وقفه^[۵۱] بهینه است. اهمیت وقفه از آن رو است که در علم اقتصاد به ندرت وابستگی یک متغیرY (متغیر وابسته) به متغیرهای دیگرX (متغیر توضیحی) آنی و فوری می­باشد بلکه در بسیاری از مواقع تبعیت Y از تغییرات X با تاخیرزمانی حاصل می­ شود که یک چنین تاخیر زمانی در اصطلاح وقفه نامیده می­ شود. از جمله دلایل وجود وقفه می­توان به علل روانی، علل تکنولوژیکی و علل نهادی اشاره نمود. برای انتخاب طول وقفه بهینه می­توان از معیارهای انتخاب مدل همچون آکائیکی^[۵۲]، شوارز^[۵۳]، و هنان- کوئین ^[۵۴]استفاده نمود. اینگونه معیارهای انتخاب مدل را می­توان معیارهایی از خوبی برازش دانست که در آن تخمین هر پارامتراضافی، یک هزینه محسوب می­ شود و مستلزم پرداخت جریمه­ای است. یکی از دلائل نامطلوب بودن مدل‌هایی که دارای پارامترهای زیاده ازحد هستند این است که در این مدل‏ها، خطای ناشی از برآورد پارامترهای اضافی، واریانس خطای پیش بینی را افزایش می­دهد.
هزینه نهایی حاصل از اضافه کردن پارامترهای جدید در معیار SBC بیش از AIC است. بدین علت SBC مدل هایی را انتخاب می­ کند که در آن اصل صرفه جویی رعایت شده­است و AIC بیشترین مقدار وقفه را پیشنهاد می­ کند و در واقع به سمت انتخاب مدل‌هایی که بیش از حد پارامتر دارند تورش دارد. معیار HQC معمولاً تعداد وقفه ها را در­حد وسط این دو تعیین می­نماید.
۳-۵-۱-۱-۴) مدل‌های VAR
مدل خود رگرسیون برداری یا VAR یکی از روش‌های مدلسازی سری زمانی است. VAR به بررسی و تعیین رابطه تعادلی بلند‌مدت بین چند متغیر اقتصادی سری زمانی می‌پردازد. در واقع با بهره گرفتن از ضرایب الگوی VAR می‌توان به تعیین و برآورد بردارهای همجمعی بین متغیرها پرداخت. ارتباط موجود بین الگوی VAR و همجمعی، ‌این امکان را فراهم می آورد تا به سادگی بتوان بردارهای همجمعی را از روی ضرایب الگوی خودرگرسیون برداری به دست آورد (نوفرستی،‌۱۳۸۹، ص ۱۲۱).
برای شناخت جایگاه VAR باید گفت که بطور کلی چهار روش پیش بـــینی اقتصادی بر اساس داده های سری زمانی وجود دارد :

مدل‌های رگرسیون تک معادله ای
مدل‌های رگرسیون معادلات همزمان
مدل‌های ARIMA ^[۵۵]
مدل‌های VAR
متدولوژی VAR تا اندازه زیادی به مدل‌های معادلات همزمان شباهت دارد، جز اینکه در این روش با تعدادی متغیرهای درونزا سروکار داریم و معمولا” هیچگونه متغیر برونزایی در مدل وجود ندارد.
طرفداران مدل VAR مزیت‌هایی را برای این مدل ذکر می‌کنند. نخست آنکه روش ساده‌ای است و نیازی به نگرانی در مورد درونزا یا برونزا بودن متغیرها نیست؛ تمامی متغیرها در مدل VAR درونزا هستند. دوم اینکه تخمین مدل ساده و آسان است. یعنی از روش متعارف OLS برای هر یک از معادلات بصورت جداگانه‌ای می‌توان استفاده کرد. سوم اینکه پیش‌بینی‌هایی که از این روش به دست می‌آید، در بسیاری از موارد بهتر از نتایج مدل‌های پیچیده معادلات همزمان است اما مدل VAR در عمل با مشکلاتی نیز مواجه است از جمله اینکه برخلاف مدل‌های معادلات همزمان، مدل VAR بر اساس تئوری نمی‌باشد و به دلیــــــل تاکید آن بر پیش‌بینی‌ها، مدل VAR برای سیاست‌گزاری مناسب نیست. ضمناً تعیین پارامترهای مدل عمدتاً به درجات آزادی زیادی نیاز دارد و اگر حجم نمونه به اندازه کافی بزرگ نباشد، با مشکل مواجه می‌شویم (ابریشمی،‌۱۳۹۰،‌ص۹۶۰).
۳-۵-۱-۲) مدل داده ­های پانل((Panel Data
منظور از داده ­های پانل، تلفیقی از داده های مقطعی و سری زمانی است. در این مدل فرض بر اینست که مشاهدات، مربوط به فرد در طول دوره زمانی است. برای مثال متغیرهایی مثل تولید بنگاه از هر بنگاه به بنگاه دیگر و از یک زمان به زمان دیگر مقادیر متفاوتی می­پذیرد. برای نشان دادن این دو بعد داده از دو اندیس و استفاده می­ شود:

همانطور که گفته می­ شود می­توان   مشاهده از  را در یک بردار تلفیق کرد. این روشی مرسوم در داده‌های پانل است، بطوریکه مشاهدات هر فرد یکی پس از دیگری قرار می­گیرد، ضمن اینکه مشاهدات افراد به طور جداگانه به صورت سری زمانی روی هم انباشت شده است.
در اینجا یک مدل تک معادله­ایی خطی رگرسیونی مشاهده می­ شود، که در آن  بر  متغیر مستقل رگرس شده و در آن یک جمله اخلال تصادفی نیز وجود دارد. با توجه به اینکه داده ­ها به صورت پانل است، برای فرد در زمان روابط زیر وجود دارد:

رابطه ۳-۳

پارامترهای برآوردی هستند و  بردار سطری  متغیرهای توضیحی و  بردار ستونی ضرایب رگرسیون است. رابطه ۳-۳ عمومی­ترین تصریح مساله رگرسیون داده های پانل است. با این حال با توجه به این امر که رابطه مذکور تا حد زیادی توصیفی است، قدرت تبیین ندارد و برای پیش‌بینی مفید نیست.
روش داده های پانل دارای چند مزیت اصلی است:
با ترکیب مشاهدات سری زمانی و مقطعی، داده ­های پانل با مشاهدات بیشتر، تغییرپذیری بیشتر، همخطی کمتر میان متغیرها، درجات آزادی بیشتر و کارایی بیشتر ارائه می­ شود.
به منظور مطالعه مشاهدات مقطعی تکراری، داده ­های پانل برای مطالعه پویایی تغییرات، مناسب­تر و بهترند. بطوریکه دوره­ های بیکاری، چرخش شغلی و تحرک نیروی­کار با داده ­های پانل بهتر بررسی می­شوند.
داده ­های پانل تاثیراتی را که نمی­ توان به سادگی در داده ­های مقطعی و سری زمانی مشاهده کرد بهتر نشان می­ دهند.
این نوع داده ­ها، افراد را قادر می­سازند تا مدلهای پیچیده­تر را مطالعه کنند. برای مثال، پدیده‌هایی مانند صرفه­جویی نسبت به پتانسیل و تغییرات تکنولوژیکی را می­توان با داده ­های پانل در مقایسه با داده ­های سری زمانی و مقطعی بهتر بررسی کرد.
داده ­های پانل با ارائه داده برای هزاران واحد، می­توانند تورشی که ممکن است در نتیجه تعداد افراد و بنگاه­ها حاصل شود، حداقل سازد.
در داده ­های پانل وجود ناهمسانی واریانس محدود است.
به طور کلی باید گفت داده ­های پانل تحلیل‌های تجربی را به شکلی غنی می­سازند که در صورت استفاده از داده‌های سری زمانی یا مقطعی این امکان وجود ندارد(گجراتی،۲۰۰۷).
برای اینکه یک مدل خصوصیت مطلوب و قدرت تبیین داشته باشد باید ساختاری بر آن وضع شود. این ساختار شامل سه فرض اصلی می­باشد که در خصوص متغیرهای توضیحی، خواص جمله اختلال و رابطه میان متغیرهای توضیحی و جملات اختلال اعمال می­ شود در روش داده های پانل نیز این خصوصیات مد نظر خواهند بود.
شکل کلی مدل داده‌های پانل که به مدل اجزاء خطا معروف است، به صورت زیر می‌باشد:
رابطه ۳-۴
در رابطه بالا Y نشان دهنده متغیر وابسته، X متغیر‌های توضیحی مشاهده شده و Z نشان دهنده متغیرهای توضیحی غیر قابل مشاهده اثرگذار بر متغیر وابسته برای هر مقطع بوده که برای توضیح بهتر، این دسته از متغیرها از مقادیر اجزاء خطا جدا شده است. i نشان دهنده مقطع‌ها یا واحد‌های مشاهده شده، t نشان دهنده دوره زمانی و j و p نشان دهنده تفاوت بین متغیر‌های مشاهده نشده و مشاهده شده در مدل است.  نشان دهنده خطای برآورد داده‌های پانل است که تمام شرایط مربوط به جملات خطا تحت فرضیات گوس- مارکوف^[۵۶] را داراست. جمله روند نشان دهنده تغییرات جمله ثابت در طول زمان است. این مدل به مدل داده‌های پانل دو طرفه معروف است. به عبارت دیگر اگر جمله ثابت با روند هم تغییر کند روش داده‌های پانل دو طرفه و اگر جمله روند در مدل نباشد، این مدل به مدل تجزیه و تحلیل داده‌های پانل یک طرفه معروف است . همچنین در صورت ثابت بودن تغییرات متغیرها در طول زمان، می‌توان به جای جمله روند از متغیر‌های مجازی استفاده کرد. به این مدل، مدل حداقل مربعات متغیرهای مجازی^[۵۷] گفته می‌شود.
از آنجا که مقادیر متغیر‌های z، قابل اندازه گیری نیستند، می‌توان مجموع همه آنها را به صورت یک متغیر  نشان داد که در این صورت معادله (۴-۲) را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
رابطه ۳-۵
که در آن  مجموع تمام متغیر‌های اثر گذار بر متغیر مورد بررسی بوده که قابل اندازه گیری نیستند. اگر  با هر کدام از متغیر‌های توضیحی دیگر X وابسته باشد، برآورد و تحلیل از طریق این معادله، دارای تورش مربوط به متغیر‌های برآورد نشده خواهد بود. حتی اگر اثر متغیر‌های مشاهده نشده به هیچ کدام از متغیرهای توضیحی وابسته نباشد، وجود این متغیرها منجر به برآورد‌های ناکارا و ناسازگار خطای تخمین خواهد شد. اما با بهره گرفتن از روشهایی در تخمین‌های داده‌های پانل سری زمانی - مقطعی مانند مدل اثر ثابت، مدل اثر تصادفی و مدل SUR که در ادامه به توضیح آنها می‌پردازیم، این مشکل وجود نخواهد داشت. اگر چنانچه کل داده‌ها با یکدیگر ترکیب شده و با روش OLS تخمین زده شود مدل داده‌های یکپارچه شده^[۵۸] بدست می‌آید. به عبارت دیگر در بررسی داده‌های مقطعی و سری‌های زمانی، اگر ضرایب اثر مقطعی و اثر زمانی معنی دار نشود، می‌توان تمامی داده‌ها را با یکدیگر ترکیب کرده، به وسیله یک رگرسیون حداقل مربعات معمولی^[۵۹]تخمین بزنیم. از آنجا که دراکثر داده‌های پانل اغلب ضرایب مقطع‌ها یا سری‌های زمانی معنی دار است، این مدل که به مدل رگرسیون ترکیب شده معروف است کمتر مورد استفاده قرارگرفته است (یافی^[۶۰]، ۲۰۰۴ ).
روش داده ­های پانلی به سه نوع تخمین طبقه بندی می­شوند:
تخمین­های بین گروهی. این نوعِ تخمین از اختلاف بین واحدهای انفرادی بهره ­برداری می­ کند اما از هرگونه اطلاعاتی در درون کشورها صرف­نظر می­ کند. به عبارتی این نوع تخمین رگرسیون روی میانگین­هاست و معمولا برای تخمین ضرایب بلندمدت از این روش استفاده می­ شود.
تخمین­های درون گروهی. در این روش اثرها ثابت فرض می­شوند که شیب معادله برای همه­ کشورها یکسان است. ولی برای هر واحد انفرادی عرض از مبدا جداگانه­ ای وجود دارد که می تواند با متغیرهای توضیحی مدل همبستگی داشته و یا نداشته باشد.
اثرهای تصادفی. که به روش اجزا واریانس نیز معروف است و فرض می­ شود عرض از مبداها دارای توزیع مشترکی با میانگین α و واریانس مشخص بوده و برخلاف روش اثرهای ثابت با متغیرهای توضیحی الگو ناهمبسته‌اند.
۳-۵-۱-۲-۱) مدل اثرات ثابت
در مدل اثر ثابت، شیب رگرسیون در هر مقطع ثابت بوده و جمله ثابت از مقطعی به مقطع دیگر متفاوت است. هرچند اثر زمانی معنی دار نیست، اما اختلاف معنی داری میان مقطع‌ها وجود داشته و ضرایب مقطع‌ها با زمان تغییر می‌کند. یکی از روش‌های نشان دادن اثر مقطی استفاده از متغیرهای مجازی است. شکل کلی این مدل به صورت زیر است:
رابطه ۳-۶
در این رابطه  نشان دهنده برداری از متغیرهای مستقل،  نشان دهنده متغیر مجازی برای نشان دادن اثر مقطعی،  برداری از متغیرهای وابسته و  جمله خطای معادله است
مدل‌های اثر ثابت با توجه به وجود یا عدم وجود روند زمانی در جمله ثابت، به مدل‌های اثر ثابت دوطرفه و یک طرفه قابل تفکیک است. در مدل اثر ثابت دو طرفه، شیب‌ها ثابت هستند، اما جمله ثابت در هر زمان متفاوت است. اثر زمان برای سال با وارد کردن  متغیر مجازی به صورت زیر نشان داده می‌شود :

رابطه ۳-۷
در این رابطه  نشان دهنده بردار متغیرهای مستقل،  بردار متغیرهای وابسته،  جملات خطای معادله و  اثر زمان بر روی جمله ثابت است.
در مدل اثر ثابت دو طرفه شیب توابع در هر مقطع ثابت است، اما جمله ثابت (عرض از مبدا) هم با زمان و هم با مقطع تغییر می‌کند. برای نشان دادن این اثرات از  متغیر مجازی برای مقطع و  متغیر مجازی برای زمان به صورت زیر استفاده می‌شود.

رابطه ۳-۸