در واقع در مجموعه‌های معمولی تابع مشخصه (chf) درجه عضویت را در مجموعه نشان می‌دهد.
حال جرقه مجموعه‌های فازی اینجا زده می‌شود. یعنی اینکه هیچ الزامی وجود ندارد که تابع chf دارای برد {۰و۱} باشد به طور مثال ما از مجموعه مرجع X که مجموعه تمام سیبها است، می‌خواهیم به مجموعه A (مجموعه سیب‌های کاملا سرخ) دسترسی پیدا کنیم. سیب اولی را که انتخاب می‌کنیم کاملا زرد بوده و در واقع chf آن صفر است. سیب دوم کاملا سرخ بوده و عضو مجموعه ی سیب کاملا سرخ با chf یک است. ولی یک سیب دارای رنگ سرخ با لکه‌های زرد است. این سیب را نه می‌توان در مجموع A قرار داد و نه می‌توان در مجموعه A قرار نداد. ولی با کمی تغییر در تعاریف می‌توان این کار به راحتی انجام داد. یعنی این سیب تا حدودی عضو این مجموعه سیب‌های سرخ است (مثلا ۷۰%) پس اگر برد تابع chf از {۰و۱} به [۰,۱] تغییر کند. این سیب با  عضو این مجموعه است. از این به بعد این مجموعه را که این گونه تعریف کردیم مجموعه فازی و تابع مشخصه آن را تابع عضویت (MF) Membership Function می‌نامیم چون در واقع این تابع درجه تعلق عضو را به مجموعه فازی A نشان می‌دهد و با  نشان می‌دهیم.
مثال: فرض کنید X=[0,2000] باشد. یک زیر مجموعه فازی از X که نشان دهنده ویژگی (نزدیک ۱۰۰۰) باشد را می‌توان توسط تابع عضویت زیر تعریف کرد.
(۴-۲)
۴-۲-۲- چند مفهوم مقدماتی
به فرض اینکه X یک مجموعه مرجع و A یک زیر مجموعه فازی آن باشد [طاهری، ۱۳۷۸].
الف) تکیه گاه A (Supp A): مجموعه نقاطی درX که  باشد را گویند. (نقاطی که تا حدودی عضو مجموعه ما هستند.)
ب) ارتفاع: یعنی  بیشترین  که یک عضو در مجموعه A دارد را گویند. (تابع عضویت نقطه‌ای که بیشترین عضویت را نسبت به مجموعه دارد.)
ت) مجموعه نرمال: مجموعه‌ای که ارتفاع آن برابر یک باشد. یعنی  باشد. (مجموعه‌ای که حد اقل یک عضو با صد در صد عضویت در آن وجود داشته باشد.)
ث) نقطه گذر (معبر A): نقطه‌ای از مجموعه با  را گویند.
۴-۲-۳- نماد گذاری
نشانگذاری در مجموعه‌های فازی روش‌های مختلفی دارد، که به ذکر آن می‌پردازیم (زاهدی، ۱۳۷۸).
روش الف) کابرد مستقیم تابع عضویت.
به طور مثال:
(۴-۳)
روش ب) به صورت زوج مرتب.
(۴-۴)
روش پ) برای مجموعه‌های متناهی و نامتناهی شمارا.

(۴-۵)
علامت فوق، علامت جمع نبوده و صرفا برای نشان دادن مجموعه است.
روش ت) برای مجموعه ناشمارا
(۴-۶)
علامت فوق، علامت انتگرال نبوده و صرفا برای نشان دادن مجموعه است.
۴-۲-۴- عملگرهای مجموعه ای

دو مجموعه B,A معادلند (equal) اگر و تنها اگر برای هر
A زیر مجموعه B است اگر و تنها اگر برای تمامی مقادیر
مکمل مجموعه فازی A (Compliment) به این شکل تعریف می‌شود.
برای هر
C-norm عملگری است که باید شرایط مکمل را دارا باشد. که در ادامه توضیحات کامل در خصوص آن داده می‌شود.
ج) اجتماع B,A (Union) یک مجموعه فازی است در X که با  نمایش می‌دهند و تابع عضویت آن به صورت زیر است
(۴-۷)
S-norm عملگری است که باید شرایط اجتماع را دارا باشد. که در ادامه توضیحات کامل در خصوص آن داده می‌شود.
ت) اشتراک B,A (Intersection) یک مجموعه فازی است در X که با  نمایش می‌دهند. و تابع عضویت آن به صورت زیر است.
(۴-۸)
T-norm عملگر است که باید شرایط اشتراک را دارا باشد. که در ادامه توضیحات کامل در خصوص آن داده می‌شود. عملگر‌های S,T,C همگی به طور مفروض عملگری‌اند که برای اقناع خواص خود باید شرایط را ارضاء کنند، که به تفصیل به آنها می‌پردازیم.
الف) مکمل فازی

شکل ۴-۱ مکمل فازی
(۴-۹)
برای اینکه تابع C واجد شرایط مکمل باشد باید حد اقل دو شرط یا اصول زیر را اقناع کند.
اصل موضوع C1:  (شرط مرزی)
اصل موضوع C2: برای تمام مقادیر  اگر  آنگاه  (شرط نزولی بودن)
a,b مقدار تابع عضویت دو عضو هستند.
تعریف: هر تابعی که  و اصول موضوع C1و C2 را ارضاء کند یک عملگر مکمل است. حال به تعریف چند عملگر مکمل می‌پردازیم [۱۲]:
کلاس مکمل فازی سوگنو (sugeno)