که در اینجا  ماتریس سختی سازه است که تابعی از شکل هندسی اجزای تشکیل دهنده و خواص مواد می­باشد،  بردار تغییر مکان گرهی،  تعداد المان­ها،  ماتریس سختی المان،  بردار نیروی عکس العمل و  بردار نیروی اعمالی می­باشد.
هنگام استفاده از روش اجزای محدود، نیروهای وارد به جسم توسط کاربر به نرم افزار داده می­ شود. مقدار تغییر شکل یا جابجایی با بهره گرفتن از معادله فوق تعیین می شود. پس از آن تنش­های وارده به جسم با بهره گرفتن از مقادیر تغییر مکان محاسبه می­ شود.
۴-۲- تعیین فرکانس­های طبیعی و شکل مودها
اثرات انعطاف پذیری سازه در معادلات حرکت به صورت عباراتی برحسب فرکانس طبیعی و شکل مود­ها و نیز جرم­های نرمالیزه بیان می­گردد. لذا جهت شبیه سازی اجزای هواپیمای الاستیک نیاز به تحلیل مودال سازه و بدست آوردن فرکانس­های طبیعی و شکل مودها می­باشد. برای این منظور روش­های گوناگونی می ­تواند مورد استفاده قرار گیرد. یکی از این روش­ها روش شکل مودهای فرضی^[۸۱] می­باشد. همچنین به منظور بدست آوردن فرکانس­های ارتعاشی سازه می­توان از روش اجزای محدود^[۸۲] استفاده نمود.

در یک سازه تحت بارگذاری اگر بخواهیم با بهره گرفتن از تئوری الاستیسیته وضعیت تنش­ها و کرنش­ها را مشخص کنیم این کار بسیار مشکل است چرا که تحلیل اینگونه مسائل مهندسی منجر به معادلات دیفرانسیلی می­ شود که حل آن­ها با روش­های ریاضی غالباً دشوار است. البته می­دانیم که حل این معادلات پاسخ دقیق این مسئله را ارائه می­دهد اما در مورد یک شکل هندسی خاص با یک بارگذاری مشخص اگر بارگذاری را تغییر دهیم نیاز به حل جدیدی خواهیم داشت که این امر موضوع را پیچیده­تر می­نماید. برای همین موضوع در مسائل مهندسی ترجیح داده می­ شود که از روش­های تقریبی عددی برای حل مسائل استفاده شود. مهمترین روش_­های حل عددی که در حل مسائل مهندسی به کار می­رود عبارت است از:

• اجزای محدود

• روش المان مرزی

• روش تفاضل محدود^[۸۳]

۴-۲-۱- روش اجزای محدود
روش اجزاء محدود یک دستورالعمل عددی جهت حل مسایل فیزیکی می­باشد که توسط معادله دیفرانسیل توصیف می­شوند. این روش دارای دو ویژگی است که آن را از سایر روش­های عددی متمایز می­سازد:

• در این روش از یک فرمولبندی انتگرالی جهت ایجاد یک دستگاه معادلات جبری استفاده می شود.

• در این روش از توابع هموار به طور قطعه­ای پیوسته جهت تقریب کمیات مجهول استفاده می­ شود.

روش اجزاء محدود را می­توان به پنج مرحله اصلی تقسیم کرد:

• تقسیم ناحیه مورد بحث به تعداد زیادی زیر ناحیه کوچک موسوم به المان. نقاط اتصال المانها به یکدیگر، گره نامیده می­ شود.

• تعیین تقریب اولیه برای حل به صورت یک تابع با ضرایب ثابت مجهول. پس از تعیین شدن مرتبه تقریب اولیه، معادله حاکم در هر گره نوشته می­ شود.

• استخراج دستگاه معادلات جبری.

• حل دستگاه معادلات ایجاد شده.

• محاسبه سایر کمیات از روی مقادیر گرهی.

در مرحله اول هندسه مساله به نواحی کوچکی موسوم به المان تقسیم می­گردد. نقاط اشتراک المانها، گره­ها می­باشند. به مجموعه یک المان با گره­هایش یک مش گفته می­ شود. المانها می­توانند یک، دو و یا سه بعدی باشند. همچنین بسته به بعد المان اشکال مختلف برای یک المان قابل تصور است. یک المان دو بعدی می ­تواند به شکل مثلث، مربع و یا شکل دلخواه دیگری باشد. از طرفی یک المان سه بعدی نیز می ­تواند اشکالی مانند چهاروجهی، هرم، منشور و یا مکعب داشته باشد. مش­بندی هندسه مساله از مراحل مهم مدل­سازی می­باشد که مستلزم دقت و مهارت مناسب می­باشد.
در مرحله دوم در واقع تقریب اولیه برای جواب مساله به صورت یک تابع با ضرایب ثابت مجهول در نظر گرفته می­ شود. این تقریب در محدوده یک المان زده می­ شود و برای کل شکل مساله انجام نمی­گیرد. (به عنوان مثال یک تقریب خطی برای توزیع جابجایی در یک المان یک بعدیست. ). در خصوص مسایلی که توسط نرم­افزار حل می­شوند، چون می­توان ابعاد المانها را بسیار ریز انتخاب کرد هیچ­گاه تقریبی با درجه بیشتر از دو زده نمی­ شود. در مرحله بعد معادله حاکم برای تک تک گره­ها نوشته شده و پس از انتگرال­گیری­های لازم، به فرم یک معادله جبری تبدیل می­ شود. برای روشن­تر شدن موضوع به معرفی مفهوم تابع شکلی^[۸۴] می­پردازیم. همانگونه که ذکر شد در یک تحلیل اجزاء محدود ابتدا مقادیر گرهی کمیت مد نظر محاسبه می­گردد و سپس با میان­یابی در هر نقطه دلخواه می­توان مقدار کمیت مجهول را بدست آورد. بنابراین می­بایست مرتبه میان­یابی معلوم باشد که خطی و یا مرتبه دو است. المان خطی یک بعدی را در نظر می­گیریم. اگر کمیت مجهول باشد که معادله حاکم بر حسب آن است، در این المان حل تقریبی و یا همان تابع میان­یابی عبارتست از:

(۴-۲)

که در آن و مجهول می­باشند. در صورتی که این المان بین دو گره i و j با موقعیت­های و واقع شده باشد و مقادیر گرهی برابر با و باشد، دو ضریب مجهول و قابل محاسبه­اند.

(۴-۳)