لازم به ذکر است که از ۱۱ آزمایشی که در قالب جدول (۳-۲) فاکتورهای ورودی فرایند بالج آزاد گرم لوله تعریف شده است، در ۹ آزمایش مقادیر توان کار سختی و ضریب استحکام مطابق با دمای کاری لوله‏ی مورد آزمایش یعنی ۲۵۰ در نظر گرفته شده است و در ۲ آزمایش باقیمانده به دلیل بررسی تاثیر توان کار سختی و ضریب استحکام بر فرایند از ضرایب استحکام وتوان کارسختی‌های مطابق دماهای ۲۰- ۱۵۰ استفاده شده است.
فصل چهارم: شبیه‌سازی فرایند به روش اجزا محدود با بهره گرفتن از نرم افزار آباکوس
۴-۱ مقدمه
استفاده از روش‏های عددی در تحلیل مسائل صنعتی یا تحقیقاتی، نیاز به ابزاری قدرتمند به منظور امکان‏سنجی و پیش‏بینی شرایط در فرایند را به وجود آورده است. از طرف دیگر به دلیل پرهزینه و زمان‏بر بودن روش آزمایشگاهی در مسائل مربوط به شکل‏دهی فلزات، این روش مقرون به صرف نمی‌باشد.
روش عددی به واسطه‏ی گسترش علوم کامپیوتر، پیشرفت قابل ملاحضه‏ای در سایر علوم از جمله شکل‏دهی فلزات داشته است. مهمترین نکته در روش عددی، تبدیل روابط پیچیده‏ی ریاضی به روابط ساده با بهره گرفتن از یک مدل پایه قدرتمند مبتنی بر معادلات ریاضی می‏باشد.
همچنین از آنجایی که تعداد مسائل علمی و کاربردی که از حل‏های تئوری بهره می‏برند، کم است لذا ضرورت استفاده از مدل‏سازی عددی به عنوان یک ابزار قدرتمند در حل مسائل مذکور نیاز می‏باشد. بدین صورت استفاده از نرم‏افزارهای المان محدود بدلیل کاربرد در طیف وسیعی از اشکال هندسی، مواد و شرایط بارگذاری مورد توجه محققین و صنعتگران قرار گرفته است.
روش المان محدود قادر است که مسائل پایدار، مسائل وابسته به زمان و همچنین مسائلی که دارای خواص غیر خطی برای ماده‏اند را تحلیل کند. این روش پایه‏ی مبنای بسیاری از طراحی‏ها به کمک رایانه است و برنامه‏های رایانه‏ای پیشرفته‏ای که نوشته می‏شوند را دربر می‏گیرد.

در ابتدای این فصل به معرفی روش اجزا محدود و نرم‏افزار آباکوس پرداخته می‏شود. سپس شبیه‏سازی اجزا محدود به کمک نرم افزار آباکوس برای فرایند بالج آزاد گرم لوله ارائه می‏شود.
۴-۲ معرفی روش اجزا محدود
در روش المان محدود سازه مورد نظر به اجزاء جداگانه‏ای تحت عنوان المان نقسیم می‏شود. المان‌های مذکور در نقاطی به نام گره به یکدیگر متصل شده و در نتیجه میدان جابجایی پیوسته‏ای را مهیا می‏سازد. هندسه‌ی این المان‏ها کوچک بوده و معمولا ساده‌تر از هندسه‌ی محیط پیوسته است.
با حل معادله‏های میدان که معمولا به صورت ماتریس‏های نواری هستند، مقدار متغییر میدان در گره‏ها از طریق مونتاژ عناصر بدست می‏آید. روش اجزا محدود ما را قادر می‏سازد که یک مسئله با بی‏نهایت درجه آزادی را به یک مسئله با درجات آزادی محدود تبدیل کنیم تا در نهایت مراحل حل آن ساده‏تر شود.
روش کلاسیک تحلیل یک مدل پیوسته بدین صورت است که یک تابع تنش یا تغییر شکلی که معادلات دیفرانسیل، روابط تنش-کرنش و شرایط ناسازگازی را در هر نقطه از محیط پیوسته (شامل شرایط مرزی) برآورده سازد، تعیین می‏شود. باتوجه به قیود پیچیده‏ کار، تعداد حل‏های کلاسیک موجود بسیار محدود است. به علاوه اکثر نتایج بدست آمده به صورت سری‏های نامتنهایی می‏باشد که در محاسبات عملی فقط چند جمله اول آن‏ها به کار گرفته می‏شود که نتیجه‌ی آن ایجاد تقریب در نتایج بدست آمده است.
لازم به ذکر است که کاربرد روش المان محدود بیشتر به مکانیک جامدات معطوف می‏شود اما گستردگی این روش باعث شده است که از آن در سایر علوم و زمینه‌هایی که دارای مدل ریاضی باشند، استفاده نمود.
۴-۳ معرفی نرم افراز آباکوس
همانطور که در قبل اشاره شده به منظور بهره‏گیری از روش‎های عددی در جهت حل مسائل، نیاز به ابزاری قدرتمند به منظور پوشش‏دهی سایر شرایط موجود در فرایند لازم می‏باشد.
نرم افزار آباکوس یکی از قدرتمندترین و معتبرترین نرم‏افزارهای اجزا محدود است که از جایگاه ویژه‏ای در میان محققین و صنعتگران برخوردار است. این نرم افزار قابلیت تحلیل کلیه مسائل شکل‌دهی مانند هیدروفرمینگ، شکل‏دهی گازی، کشش عمیق، نورد، ورق‏کاری و… را دارد. همچنین این نرم افزار قابلیت شبیه‏سازی مسائل در قالب محیط ۲ بعدی و ۳ بعدی را دارد.
در ادامه تاریخچه‏ای مختصر از این نرم افزار آورده می‏شود. سپس دیدگاه کلی روش المان محدود در نرم افزار مذکور مورد بررسی قرار می‏گیرد.
۴-۳-۱ تاریخچه‌ نرم افزار آباکوس
آباکوس در سال ۱۹۷۸ توسط دیوید هیبیت^[۴۸]، بنگت کارلسون^[۴۹] و پل سورنسن^[۵۰] به کار گرفته شد.
به دلیل نیاز مبرم مهندسین در زمینه‌ی انرژی هسته‏ای و مهندسی حفاری به ابزاری جهت مطالعات مسائل پیچیده و غیر خطی، این نرم افزار طراحی شده بود. به دلیل اینکه این نرم افزار بر پایه مسائل غیر خطی بنا نهاده شده است، لذا توانایی شبیه‏سازی پیچیده‏ترین مسائل را با در نظر گرفتن اثرات بسیار ظریف را دارا می‏باشد.
در نهایت به دلیل اینکه روش تحلیلی نمی‏تواند پاسخگوی تمامی مسائل در علوم مختلف شود و همچنین مقرون به صرفه نبودن روش آزمایشگاهی به دلیل زمان‏بر بودن و هزینه‏بر بودن پروسه‌ی آن، نرم افزار آباکوس به نمایندگی از روش عددی توانسته است از سال ۱۹۸۰ تا کنون رضایت سایر محققین و صنعت‌گران را جلب کند، لذا از جایگاه ویژه‌ای بین محققین برخوردار است.
۴-۳-۲ دیدگاه کلی سیستم اجزا محدود در نرم افزار آباکوس
روش اجزا محدود در نرم افزار آباکوس به سه دسته‏ی کلی تقسیم می‏شود.
۱)Abaqus/Standard: یک آنالیزگر همه منظوره است که می‏تواند در یک محدوده‏ی گسترده مسائل خطی و غیر خطی را آنالیز کند. این محصول برای حل مسائل متداول در اجزا محدود مانند انواع تحلیل‏های استاتیکی، دینامیکی، حرارتی و … که همه‏ی آن‏ها گزینه‏هایی برای مواد غیر خطی دارند طراحی شده است.
۲)Abaqus/Explicit: یک آنالیزگر تک منظوره است که برای اجزا محدود دینامیکی صریح و آنالیز نیمه استاتیکی مورد استفاده قرار می‏گیرد. این محصول برای مدل کردن وقایع دینامیکی گذرا از قبیل مسائل ضربه زدن، سقوط آزاد، تصادفات و پروسه تولید و همچنین برای مسائل غیر خطی زیاد که شرایط تماس در آن وارد می‏شود مانند شبیه‏سازی شکل‌دهی بسیار موثر است.
۳)Abaqus/CAE: یک محیط کامل و ساده برای این نرم افزار است که در برگیرنده‏ی مدل‏سازی، آنالیز و بررسی و ارزیابی نتایج شبیه‏سازی است.
آباکوس یک برنامه سطح بالای اجزا محدود می‏باشد که توانایی مدل کردن اجسام با کوچکترین جزئیات نظیر رفتار ماده که تحت تاثیر بارهای خارجی قرار می‏گیرد را دارا می‏باشد.
۴-۳-۳ مزایای نرم افزار آباکوس نسبت به نرم افزارهای مشابه
در زیر به مواردی اشاره می‏شود که نرم افزار مذکور را نسبت به نرم افزارهای تحلیلی دیگر برتری می‏دهد.
۱) توانایی مدل کردن تغییر شکل‏های بزرگ در حالت‏های دو بعدی و سه بعدی
۲) توانایی حل مسائل دینامیکی و استاتیکی
۳) توانایی بالا در مدل کردن تماس یا برخورد
۴) دارا بودن مجموعه وسیعی از اجزا مانند اجزای جرمی، میله‏ای، دو بعدی صلب، پوسته‏ای و سه بعدی صلب
۴-۳-۴ تحلیل روش‏های حل صریح و ضمنی در نرم افزار آباکوس
در کل فرایند مربوط به شکل‏دهی فلزات به صورت شبه‏استاتیکی در نظر گرفته می‏شود. همچنین اثرات اینرسی در شکل‏دهی قابل اغماض بوده، بدین منظور برای این چنین مسائل می‏توان از دو روش حل Explicit یا Implicit (صریح یا ضمنی) استفاده نمود.
معادله‌ی کلی تعادل برای مدل المان محدود عبارت است از:
(۴-۱)
که () بردار نیروی خارجی است و () بردار نیروهای داخلی است که ناشی از تنش بین المان‏ها است.
() ماتریس جرم و () بردار شتاب تعریف می‏شود. پس مقدار () بردار نیروی ناشی از اینرسی جرم است.
در تحلیل مسائل در نرم افزارآباکوس، نیروهای داخلی از معادله‌ی زیر بدست می‌آیند.
(۴-۲)
که در آن V حجم مدل مورد نظر، تنش جاری دو نقطه مورد نظر و ماتریسی است که مولفه‏های نرخ کرنش را به مولفه‏های نرخ جابجایی سرعت ربط می‏دهد، یعنی:
(۴-۳)
لازم به ذکر است که معادله‏ی استاتیکی به این معنی است که نیروهای اینرسی ناچیر هستند، مانند نیروهای ثقل و نیروهای گریز از مرکز و این به این معنی است که:
(۴-۴)
۴-۳-۵ حل ضمنی معادله استاتیکی
حل ضمنی وقتی موثر است که آنالیز حل در زمان نسبتا کمی قابل انجام باشد.
Abaqus/Standard از روش نیوتن رافسون برای حل معادله‏ی استاتیکی () استفاده می‏کند. فرض می‏شود که یک جواب تخمینی () در تکرار شماره موجود می‏باشد، بنابراین سری تیلور حول این جواب تخمین عبارت است از: