شکل 2 - 20 تبدیل دوبعدی یک نمونه تصویر[4] 42

شکل 2 - 21 ساختار تبدیل موجک تصویر [2] 43

شکل 2 - 22 تبدیل موجک چندگانه دوبعدی سطح یک [12] 46

شکل 2 - 23 تبدیل موجک چندگانه در مقایسه با تبدیل موجک اسکالر 47

شکل 2 - 24 مراحل ترکیب و تجزیه توسط موجک چندگانه [11] 48

شکل 3- 1 فرایند درج نهان نگار در سیستم مورد استفاده 53

شکل 3- 2 فرایند استخراج نهان نگار 53

شکل 3- 3 تصویر تبدیل یافته باربارا با تبدیل موجک چندگانه GHM 54

شکل 3- 4 مکان مورد نظر برای درج نهان نگار 56

شکل 3- 5 مقایسه تصویر اصلی با تصویر نهان نگاری شده 58

شکل 3- 6 مقایسه نهان نگار استخراج شده با نهان نگار اصلی 58

فهرست جداول

جدول 2- 1 بسته های نرم افزاری موجک چندگانه 49

جدول 4- 1 بررسی کیفیت تصویر 61

جدول 4- 2 بررسی مقاومت نهان نگار 62

جدول 4- 3 بررسی مقاومت نهان نگار در برابر حملات 63

جدول 4- 4 مقایسه الگوریتم پیشنهادی با کارهای پیشین 64

فصل اول

مقدمات و کلیات پژوهش

1-1 مقدمه

افزایش سرعت اینترنت و پیشرفت در زمینه تکنیک های فشرده سازی باعث شد تا استفاده از محصولات چند رسانه ای در این بستر رونق چشمگیری پیدا کند. امروزه منابع دیجیتال براحتی توسط افراد مختلف در اینترنت به اشتراک گذاشته می شوند واین مطلب باعث نگرانی تولید کنندگان آثار چند رسانه ای شده است واین نشان می دهد که حمایت از حق کپی بالاخص در مورد منابع چند رسانه ای توجه بیشتری را می طلبد . [1]

یکی از تکنیک های مبارزه با تکثیر غیر قانونی این محصولات ، استفاده از نهان نگاری دیجیتال است.نهان نگاری چیزی نیست جز گنجاندن یک پیام در یک رسانه و یا انتقال اطلاعات به صورت پنهان .دو ویژگی مهم برای نهان نگار وجود دارد . اولین ویژگی این است که درج نهان نگار نباید کیفیت و ظاهر تصویر میزیان را تغییر زیادی دهد و دوم اینکه باید از لحاظ ادراکی غیر قایل رویت باشد.علاوه بر دو ویژگی فوق نهان نگار باید در مقابل اعمال معمول پردازش تصویر نظیر فیلتر کردن ، فشرده سازی ، اعمال نویز و حذف قسمتی از تصویر مقاومت داشته باشد. [2]

2-1 طرح مساله

امروزه با رشد سريع اينترنت و فناوري­هاي چندرسانه­اي ديجيتال، نسخه برداری از داده ها بدون هیچ افت کیفیت و با هزینه های بسیار اندک امکان پذیر شده است. بدین ترتیب دستکاری و بهره گیری از آثار دیجیتال بدون رعایت حق نشر به راحتی امکان پذیر می باشد.در همين راستا هر روز نياز هاي امنيتي متنوع­تري مطرح مي شود . نهان­نگاري يکي از روش هایی است که برای پاسخگویی به اين نياز بکار مي­رود .

نهان نگاری زمینه های کاربردی فراوانی دارد، بیشترین کاربرد آن در حک کردن اسم ها و امضاها بر روی تصاویرو ویدئو ها و صداها و غیره می باشد به طوری که مشخص نخواهد بود. در اینصورت هر گونه استفاده غير مجاز از رسانه دیجیتالی نهان نگاری شده ، مانند كپي غير مجاز از آن و يا هرگونه تحريف و تغيير تصوير توسط افراد غير مجاز محدود می شود . شیوه های مختلفی برای نهان نگاری تصاویر دیجیتال ارائه شده اند ، که یکی از پرکاربردترین روش ها به کار گیری از حوزه تبدیل موجک می باشد .

3-1 ضرورت تحقیق

به کار گیری موجک های چندگانه گسسته برخی از محدودیت های موجود در تبدیل موجک اسکالر گسسته را بر طرف کرده است . تعامد و تقارن از ویژگی هایی می باشند که موجک گسسته نمی تواند به طور همزمان داشته باشد .نهان نگاری تصاویر دیجیتال با بهره گرفتن از موجک چندگانه مبحثی جدید در این حوزه می باشد و پژوهش های اندکی در این حوزه صورت گرفته است . لذا این تحقیق به دنبال آن است تا کیفیت تصویر نهان نگاری شده را نسبت به کارهای پیشین در این حوزه افزایش دهد .

4-1 سوالات تحقیق

استفاده از الگوریتم های نهان نگاری در تصاویر دیجیتالی باعث می شود تا از حق مالکیت اثر حفاظت کند و آنرا در برابر استفاده غیرمجاز کاربران مصون بدارد.تنها صاحب اصلي داده مي تواند با استخراج سيگنال نهان نگار ، كه تنها توسط او امكان پذير است، مالكيت خود را به اثبات برساند و يا محل تغييرات صورت گرفته بر روي داده دیجیتالی را مشخص كند.

با توجه به عملکرد این نوع الگوریتم های نهان نگاری سوالاتی در این زمینه مطرح می کنیم و در این طرح به آنها می پردازیم:

1. چگونه می توان نهان نگاری در تصاویر دیجیتال را با استفاده روش موجک چندگانه بهبود بخشید؟
2. چگونه با بهره گرفتن از روش موجک چندگانه در الگوریتم های نهان نگاری برای تصاویر دیجیتال، می توان مشکل اثبات حقوق مالکیت را برطرف کرد؟
3. چگونه می توان الگوریتم پیشنهادی را در برابر سایر روش های پیشنهادی ارزیابی کرد ؟ معیار های ارزیابی کدامند ؟
4. چگونه می توان الگوریتم نهان نگاری مبتنی بر موجک چندگانه در تصاویر دیجیتال را در برابر حملات تخریب کننده معمول، از قبیل فشرده سازی ، نویز و غیره توانمند و مقاوم کرد؟

5-1 محدوده پژوهش

تمرکز اصلی و عمده در این پژوهش ، طراحی الگوریتمی است که به وسیله آن بتوان یک تصویر را به عنوان نهان نگار در درون یک تصویر دیگر با به کار گیری تبدیل موجک چند گانه جا گذاری کرد . بدین منظور با مفاهیمی همچون نهان نگاری تصاویر دیجیتال ، تبدیل موجک و تبدیل موجک چندگانه آشنا می شویم و در مرحله بعد الگوریتمی برای نهان نگاری تصاویر دیجیتال ارائه خواهیم کرد . در نهایت به ارزیابی روش پیشنهادی می پردازیم .

6-1 ساختار پایان نامه

ساختار این پایان نامه شامل پنج فصل به شرح زیر می باشد :

• فصل اول در خصوص بیان کلیات پژوهش و چرایی و چگونگی انجام آن می باشد .
• فصل دوم به ادبیات موضوع اختصاص دارد و مفاهیمی چون نهان نگاری تصاویر دیجیتال ، روش های موجود ، تبدیل موجک ، تبدیل موجک گسسته ، تبدیل موجک چندگانه معرفی می شوند و سپس به معرفی روش های پیشنهادی موجود در این حوزه می پردازیم .
• فصل سوم مربوط به روش پژوهش بوده و به ارائه ی الگوریتمی بر پایه تبدیل موجک چندگانه دو بعدی می باشد .
• فصل چهارم مختص ارزیابی روش پیشنهادی است، بدین صورت که با بهره گرفتن از معیار هایی همچون NC ، PSNR روش مورد نظر را مورد ارزیابی قرار داده و با روش هایی که از قبل ارائه شده بودند مقایسه می کنیم .
• فصل پنجم نتیجه گیری و پیشنهاداتی برای کارهای آتی می باشد.

فصل دوم

ادبیات موضوع

1-2 مقدمه

با توجه به مطالب بیان شده در فصل اول ، در این فصل برآنیم تا به بررسی ادبیات موضوعی و بررسی پاره ای از کارهای صورت پذیرفته در حوزه پژوهش بپردازیم . بدین منظور ابتدا مروری اجمالی خواهیم داشت به بررسی و تعریف مفاهیمی چون نهان نگاری ^[1]، تبدیل موجک ^[2]، تبدیل موجک گسسته ^[3]و تبدیل موجک چندگانه ^[4]و سپس پژوهش های انجام شده در این حوزه را مورد بررسی قرار می دهیم .

2-2 نهان نگاری دیجیتال ^[5]

2-2-1 مقدمه

تکامل سریع فن آوری دیجیتال سهولت دسترسی به اطلاعات دیجیتال را بهبود بخشیده است. دیجیتالی شدن داده های چند رسانه ای سبب شده تا عملیات ذخیره سازی سریع تر، قابل اعتمادتر و کارآمد باشد، و عملیات انتقال و پردازش داده های دیجیتال را فعالتر کرده است. این مسئله همچنین منجربه باز تولید و توزیع مجدد غیر قانونی رسانه های دیجیتال شده است. کپی برداری و تغییر در داده های دیجیتال به کار بسیار آسان و غیر قابل کشف تبدیل شده است. از این رو با توجه به رشد بسیار زیاد شبکه های کامپیوتری که انتقال سریع و بدون خطا در هر گونه کپی برداری را فراهم می کند و احتمالا دستکاری غیر مجاز اطلاعات چند رسانه ای را افزایش می دهد، خطر نقض قانون کپی رایت^[6] داده های چند رسانه ای بطور جدی احساس می گردد . [3]

2-2-2 مفهوم نهان نگاری دیجیتال

نهان نگاری دیجیتال به پنهان سازی اطلاعات به صورت غیر قابل رویت در یک رسانه دیجیتال همچون فیلم ، صوت و تصویر به منظور اثبات مالکیت و یا انتقال اطلاعات به به صورت مخفیانه اطلاق می شود. [4]

نهان نگاری از ترکیب دو کلمه Water به معنی آب و Marking به معنی نشانه گذاری است ؛ اين روش بخشی از مطلب کلی تری به نام استگانوگرافی^[7] هست . نهان نگاری دیجیتال رابطه نزدیکی با پنهان‌نگاری و پنهان‌سازی داده دارد. ولی با این حال، بسته به کاربردهایی که دارد، تفاوت‌هایی نیز مشاهده می‌شود. در تكنيك هاي نهان نگاري ، يك سيگنال پنهاني به نام نهان نگار^[8] ، مستقيما در داخل داده جاگذاری^[9] مي شود و همواره در آن باقي مي ماند. براي استفاده از داده نهان نگاري شده، نيازي به برداشتن سيگنال نهان نگار نيست زيرا اين سيگنال طوري در داده ميزبان درج مي شود كه هيچ تأثير نامطلوبي بر داده اصلي نمي گذارد. به عنوان مثال در نهان نگاري داده در تصوير، چشم انسان نبايد تفاوت بين تصوير اصلي و تصوير نهان نگاری شده را حس كند. دو مساله اساسی در نهان نگاری مقاومت ^[10](جداناپذیری نهان نگار از تصویر) و مشاهده ناپذیری نهان نگار است. یک بده و بستان بین دو ویژگی مقاومت و غیر قابل مشاهده بودن در نهان نگاری وجود دارد بطوری که هر چه مقاومت روش نهان نگاری بیشتر باشد مشاهده پذیری آن بیشتر است و بالعکس. [3]

3-2-2 ساختار کلی نهان نگاری دیجیتال

یک مدل کلی از نهان نگاری شامل فرایند های جاگذاری و تشخیص نهان نگار به ترتیب در شکل های (2-1) و (2-2) نشان داده شده است . ورودی مربوط به واحد درج نهان نگار علامت نهان نگاری، اطلاعات رسانه پوشش^[11] و کلید امنیتی ^[12]می باشد . علامت نهان نگاری می تواند یک دنباله عددی، یک دنباله بیتی باینری و یا ممکن است یک تصویر باشد. به منظور افزایش امنیت کل سیستم نهان نگاری از کلید امنیتی استفاده می شود. خروجی واحد درج نهان نگار ، داده ی نهان نگاری شده می باشد . کانال عبوری داده های نهان نگاری شده ممکن است دارای نویز و غیر قابل اعتماد بوده و باعث از دست رفتن داده ها شود . بنابراین داده های دریافتی ممکن است با داده های نهان نگاری شده اصلی متفاوت باشد. ورودی ها برای واحد تشخیص نهان نگار ، داده نهان نگاری شده دریافتی و کلید امنیتی متناظر با کلید جاساز شده می باشد . خروجی این فرایند ، نهان نگار بازیابی شده می باشد . [7]

شکل 2 - 1 درج نهان نگار [7]

شکل 2 - 2 تشخیص نهان نگار [7]

4-2-2 نهان نگاری به زبان ریاضی

فرض کنید که یک علامت نهان نگاری به عنوان W تعریف شده، و D داده های میزبان و K کلید امنیتی است. در طرح نهان نگاری ، یک تابع تعبیه کننده علامت نهان نگاری به نام (.)e وجود دارد که علامت نهان نگاری W، داده های میزبان D ، و کلید امنیتی K را به عنوان پارامترهای ورودی دریافت می کند و خروجی این تابع داده نهان نگاری شده D’ می باشد :

(2-1)

اگر دیتای نهان نگاری شده بوسیله روش های مختلف دچار حمله شود ولی علامت نهان نگاری بدون تغییر باقی بماند، می گوییم علامت نهان نگاری شده مقاوم است. روش تشخیص علامت نهان نگاری به شرح زیر می باشد :

(2-2)

که در آن (.)d تابع آشکارساز ؛ D و W ورودهای تابع آشکارساز هستند.

در صورتی که علامت نهان نگاری فقط حاوی یک بیت اطلاعات باشد، تشخیص علامت نهان نگاری را می توان همزمان با استخراج علامت نهان نگاری انجام داد. [3]

5-2-2 انواع سیستم های نهان نگاری دیجیتال

بسته به نوع و ترکیب ورودی و خروجی ، سه نوع سیستم نهان نگاری وجود دارد که عبارتند از :

• نهان نگاری کور^[13]: در نهان نگاری کور ،فرایند استخراج نهان نگار فقط نیازمند تصویر نهان نگاری شده می باشد و به تصویر اصلی و هیچ یک از ویژگی های آن وابسته نیست . به این نوع از سیستم نهان نگاری ، نهان نگاری عمومی^[14] گفته می شود .
• نهان نگاری غیر کور^[15] : در نهان نگاری غیر کور یک کپی از تصویر اصلی به همراه تصویر نهان نگاری شده برای استخراج علامت نهان نگار مورد نیاز می باشد. خروجی این نوع سیستم نهان نگاری بسته به وجود یا عدم وجود نهان نگار در تصویر نهان نگاری شده به صورت بلی یا خیر می باشد. از این سیستم انتظار می رود تا مقاومت بیشتری داشته باشد . به این طرح نهان نگاری ، نهان نگاری خصوصی ^[16] گفته می شود
• نهان نگاری نیمه کور ^[17]: این سیستم نهان نگاری همانند سیستم نهان نگاری کور بدون اینکه نیاز به تصویر اصلی باشد خروجی می دهد. این سیستم در مقایسه با سیستم نهان نگاری کور ، نیاز به یک سری اطلاعات ، مانند اندازه تصویر اصلی برای کشف نهان نگار نیاز دارد . با این حال این روش دارای یک نقطه ضعف بزرگ در مقابل دو سیستم ذکر شده در بالا می باشد وآن مقاومت ضعیف آن می باشد . [8]

تکنیک هاي نهان نگاري با توجه به حوزه کاری می توانند به دو دسته تقسیم بندي شوند :

شکل 2 - 3 تکنیک های پنهان سازی اطلاعات [3]

تکنیک های نهان نگاری متفاوت در شکل 2-3 نشان داده شده است . بسته به نوع سند تکنیک های نهان نگاری به چهار دسته تقسیم می شوند که عبارتند از نهان نگاری متن ، تصویر ، صوت وفیلم. نهان نگاری تصاویر که موضوع مورد بررسی ما در این پایان نامه می باشد خود به دو دسته کلی تقسیم می شود که عبارتند از :

• تکنیک های حوزه فرکانس ^[18](انتقال )

در روش هاي حوزه فرکانس ابتدا تصویر به یکی از حوزه هاي فرکانسی انتقال یافته و سپس نهان نگاري با دستکاري مقادیر در حوزه فرکانس انجام می گیرد و در نهایت تصویر به حوزه مکان باز گردانده می شود.

• تکنیک های حوزه مکان ^[19]

در روش هاي حوزه مکان براي گنجاندن شی دیجیتال مورد نظر مقادیر پیکسل ها، بطور مستقیم دستکاري می شوند. این روش ها پیچیدگی کمتری دارند، شکننده ترند و قوی نیستند. تکنیک های جایگزینی بیت کم ارزش ^[20]، طیف گسترده ^[21]، در هم آمیخته ^[22]و غیره نمونه هایی از روش های نهان نگاری این حوزه می باشند .

در مقایسه با تکنیک هاي حوزه مکان ثابت شده است که تکنیک هاي حوزه فرکانس در دست یافتن به الگوریتم هاي نهان نگاري دیجیتال از لحاظ غیر قابل مشاهده بودن و نیازمندي مقاومت (استحکام ) دارای عملکرد بهتری می باشند. انتقال هاي حوزه فرکانس که عموماً در الگوریتم هاي نهان نگاري تصاویر دیجیتال مورد استفاده قرار می گیرد شامل انتقال هاي زیر است: تبدیل کسینوسی گسسته^[23] ، تبدیل فوریه گسسته^[24] ، تبدیل موجک گسسته^[25] ، تبدیل سریع هادامارد^[26] و تجزیه مقدار منفرد^[27] ، تبدیل موجک چندگانه گسسته و غیره .

بطور کلی این مطلب مورد تأیید است که روش های حوزه فرکانس در برابر حملات رایج پردازش تصویر قوی تر از تکنیک های حوزه مکان عمل می کنند .[3] بنابراین در قسمت بعدی به بررسی و آنالیز در حوزه فرکانس می پردازیم و در انتها تبدیل موجک گسسته و تبدیل موجک چندگانه را مورد بررسی قرار می دهیم .

3-2 آنالیز در حوزه فرکانس

1-3-2 مقدمه

اكثر سيگنال هاي مورد استفاده در عمل، در حوزه زمان هستند. به عبارت ديگر، درا یه هاي سيگنال، جداي از آنچه سيگنال مورد بحث اندازه گيري ميكند ، تابعيت زماني خواهد داشت. بدين سان به هنگام رسم سيگنال، دامنه مقادير مختلف سيگنال بر حسب زمان رسم مي گردند. طبيعتاً اين نحوه نمايش، بهترين شكل براي توصيف يك سيگنال نخواهد بود. در بسياري موارد، اطلاعات سودمند سيگنال در محتواي فركانسي آن نهفته اند كه اصطلاحاً به آن، طيف سيگنال^[28] گفته ميشود. به بيان ساده، طيف يك سيگنال نشان دهنده فركانس هاي موجود در آن سيگنال است. جهت دست یابی یه این اطلاعات نهفته شده در درون سیگنال تبدیلات ریاضیاتی متنوعی در طول سال های متمادی معرفی شده اند تا ما را در رساندن به مقصود یاری کنند . [9]

تبديل موجک يكي از پركاربردترين تبديلات رياضي در حوزه پردازشي و به ويژه پردازش سيگنال و تصوير مي باشد. با توجه به ماهيت آناليز چندرزولوشني^[29]، اين تبديل جاي خود را در بسياري از كاربردهاي پردازشي باز كرده است و بعضاً به عنوان توانمندترين ابزار رخ مي نمايد. در ادامه این فصل مباني رياضي تبديل موجک مرور خواهد شد. بدین منظور برای درک بهتر مفاهیم تبدیل موجک در ابتدا تبديل فوريه به اختصار توضيح داده شده و سپس با بيان كاستي هاي آن، تبديل فوريه زمان كوتاه بررسي مي گردد. در نهايت به تبديل موجک خواهيم پرداخت و به روابط رياضي آن اشاره خواهيم كرد .

2-3-2 تبدیل فوریه ^[30]

در ﻗﺮن 19 ﻣﻴﻼدي، ﻳﻚ رﻳﺎﺿﻲدان ﻓﺮاﻧﺴﻮي ﺑﻪ ﻧﺎم ﺟﻮزف ﻓﻮرﻳﻪ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ و ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ (و ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﻣﺨﺘﻠﻂ) ﻧﻮﺷﺖ. ﺳﺎلﻫﺎ ﺑﻌﺪ از ﻛﺸﻒ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﮕﻔﺖاﻧﮕﻴﺰ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب، اﻳﻦ اﻳﺪه ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻴﺰ ﺗﻌﻤﻴﻢ داده ﺷﺪ. ﭘﺲ از اﻳﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاري ﻛﺎرآﻣﺪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي وارد ﮔﺮدﻳﺪ. در ﺳﺎل 1965، ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎ ﻧﺎم ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﺮﻳﻊ ^[31]ﺟﺎي ﺧﻮد را در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي ﺑﺎز ﻛﺮد. [9,4,5]

ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻲ از تعداد ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘلط اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از آنﻫﺎ داراي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﻳﻒ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن (x(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ:

(2-3)

ﻛﻪ در آن t زﻣﺎن و f ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. راﺑﻄﻪ (2-3) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (t)x را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻜﺘﺎ ﺑﻪ ﻧﺤﻮ زﻳﺮ بدست آورد ﻛﻪ در اﺻﻄﻼح، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد:

(2-4)

ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (2-3) ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t در ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻌﻴﻦ f ﺿﺮب ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺳﭙﺲدر ﺗﻤﺎمی زﻣﺎنﻫﺎ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:

(2-5)

ﻋﺒﺎرت ﺑﺎﻻ ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ آﻧﭽﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻮرت ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺿﺮب ﻧﻤﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ ﻛﻪ در واﻗﻊ ﺗﺮﻛﻴﺒﻲ از دو ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، از اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﺑﻬﺘﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺟﻤﻊ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. در ﻧﻬﺎﻳﺖ اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮي ،ﻛﻪ ﭼﻴﺰي ﺟﺰ ﻧﻮﻋﻲ ﺟﻤﻊ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﻧﻴﺴﺖ، ﻋﺪدي ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f دارد. اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻘﺪاري ﻛﻮﭼﻚ ﺑﺎﺷﺪ، میﮔﻮﺋﻴﻢ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ f در اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻏﺎﻟﺐ ﻧﻴﺴﺖ. ﺻﻔﺮ ﺑﻮدن ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎي ﻋﺪم وﺟﻮد ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ. ﺑﺮاي آن ﻛﻪ ﺑﺮرﺳﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻜﺮد اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮالﮔﻴﺮي داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ، ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺸﺨﺺ f ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺿﺮب اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ، ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ و ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ اﻧﻄﺒﺎق ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻟﺬا ﻣﻘﺪار ﻋﺪدي ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ دارد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ، اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮ روي ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺣﺎل آنﻛﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ، راﺑﻄﻪ (2-3) ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازاي ﻛﻠﻴﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ f ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدد. دﻗﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺣﺪود اﻧﺘﮕﺮال راﺑﻄﻪ (2-3) از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه اي ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ. ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻌﺒﻴﺮ، ﻫﻴﭻ ﺗﻔﺎوﺗﻲ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﻛﺠﺎي زﻣﺎن ﺣﻀﻮر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻳﻚ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻏﺎﻟﺐ، ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻳﻦ ﻛﻪ در ﭼﻪ زﻣﺎنﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد، ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ، ﻧﺎﻛﺎرآﻣﺪي ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﻧﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ در اﺻﻄﻼح ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ^[32] ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.

از ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺗﻮان ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮي ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻴﺎنﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ، اﻣﺎ ﻫﻴﭻ ﻧﻮع اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ در ﻣﻮرد ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪاري آن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در اﺧﺘﻴﺎر ﻧﻤﻲﮔﺬارد. ﻟﺬا ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﭘﻴﺶ از اﻧﺠﺎم آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻓﻮرﻳﻪ اﻟﺰاﻣﻲ اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳﻦ ﻫﺴﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ را در ﻛﻨﺎر ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل وارد ﻛﻨﻴﻢ. اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد.

ﺑﺮاي آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎ ﻛﺎرﻛﺮد ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﺿﻌﻒ آن در ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزي ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻓﺮﻛﺎ-نسﻫﺎي ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x₁(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از 4 ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي 5، 20 ،10 و 50 ﻫﺮﺗﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x₂(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از ﻫﻤﺎن 4 ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺧﺎص ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (4-2) اﻳﻦ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد در ﻫﺮ دو ﻃﻴﻒ، 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي 20 ،10 ،5 و 50 ﻫﺮﺗﺰ وﺟﻮد دارد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺼﺮي ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، ﻓﻘﻂ داراي 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﭘﻴﻚ ، ﺣﻮل ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺧﻮد ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب، ﻋﻼوه ﺑﺮ 4 ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ، داراي ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت و ﻗﻠﻪ ﻫﺎي ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ دﻳﮕﺮي در ﺳﺎﻳﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.

شکل 2 - 4 دو نمونه سیگنال شامل مخلوطی از فرکانس های 5 ، 10 ، 20 ، 50 هرتز و تبدیل فوریه آنها [4]

(اﻟﻒ) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻤﺎم ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، (ب) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﻫﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺣﻀﻮر دارد، (پ) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، (ت) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب.

3-3-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه^[33]

در ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺶ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎي ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ ﺿﻌﻒ دارد. ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه اي ﻛﻪ ﺑﻪ ذﻫﻦ ﻣﻲرﺳﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺨﺶ ﻛﻮﺗﺎﻫﻲ از ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ در ﺷﻜﻞ (2-4 ب) ﻧﻴﺰ ﺑﻪ وﺿﻮح دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﻪ وﺿﻮح اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ در ﻫﺮ ﺑﺎزه 0.5 ﺛﺎﻧﻴﻪاي اﻳﺴﺘﺎ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮه ﻛﺮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺑﺨﺸﻲ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﺷﻮد را اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﻤﻮد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻧﺤﻮي اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﺑﺮاي ﺗﻤﺎم ﺑﺨﺶﻫﺎي ﺟﺪا ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ آن، ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻜﺎت ﺑﺎﻻ ﻣﻲ ﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﻧﺴﺨﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه آن ﺗﻔﺎوت ﭼﻨﺪاﻧﻲ وﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوت اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺑﺨﺶﻫﺎي ﺑﻪ ﺣﺪ ﻛﺎﻓﻲ کوچک ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺘﻮان اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه w اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻃﻮل ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاي آن ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﺎت ﺟﺪاﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ (w(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮد:

(2-6)

ﻛﻪ در آن f ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و τ ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، ﻫﻤﺎن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺑﺎ ﺷﺮوع از اﺑﺘﺪاي ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮب ﺷﺪه و ﺳﭙﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻴﺰان τ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و روﻧﺪ ﻗﺒﻞ ﻣﺠﺪداً ﺗﻜﺮار ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار τ و f ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد. ﻧﺤﻮه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه و ﻧﻘﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺷﻜﻞ (2-5) ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻓﻴﻜﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (2-6) درﻣﻲﻳﺎﺑﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ آن داراي دو ﺑﻌﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ زﻣﺎﻧﻲ τ اﺳﺖ. ﻟﺬا ﺑﺎ اﺣﺘﺴﺎب داﻣﻨﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺷﻜﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﺳﻪ ﺑﻌﺪي اراﺋﻪ ﻧﻤﻮد.

شکل 2 - 5 نمایش گرافیکی نحوه پنجره کردن سیگنال غیر ایستا به منظور محاسبه تبدیل فوریه زمان کوتاه[4]

ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ ﭼﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ (اﻣﺎ از ﻣﺤﻞ زﻣﺎﻧﻲ آن ﻫﺎ اﻃﻼﻋﻲ در دﺳﺖ ﻧﺒﻮد). ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، در ﺣﻮزه زﻣﺎن، ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل را در ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ و ﻟﺬا ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻲ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ. ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺣﻮزه زﻣﺎن در تبدیل ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺣﻮزه ﻣﻮردﻧﻈﺮ، ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ از آنﻫﺎ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻗﺮار ﻧﻤﻲ دﻫﺪ. از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ آﻧﭽﻪ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻣﻲ ﺷﻮد در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را دارا ﺑﺎﺷﻴﻢ، در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﻤﺎن ﻫﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ(exp(− j2πft اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﺣﻀﻮر دارد. ﺣﺎل آﻧﻜﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻛﺎﻫﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. ﺑﺪﻳﻦﺳﺎن در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، دﻗﻴﻘﺎً ﻧﻤﻲداﻧﻴﻢ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده (ﻳﻚ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ) ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﻟﺬا ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺮﭼﻪ ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﭘﻴﺶ ﻣﻲ روﻳﻢ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺰرگ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. ﺣﺎل آنﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺰرگ ﻛﻢ اﺳﺖ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﭼﻚ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺧﻮﺑﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ اﻣﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ، ﻟﺬا ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻧﻮﻋﻲ ﻣﺼﺎﻟﺤﻪ ﺑﻴﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﻮﻳﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻫﺮ دو را ﺧﻮب ﻛﺮد.

ﺑﺎ اﻓﺰودن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﺑﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﺟﺪﻳﺪي رﺳﻴﺪﻳﻢ ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺗﻮأم زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را درﺑﺮدارد. ﺗﻨﻬﺎ ﻣﺴﺄﻟﻪاي ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ، اﻧﺘﺨﺎب اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺎ ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﻫﺮﭼﻨﺪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻤﻚ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ، اﻣﺎ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﻪﻫﺎي ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺗﺤﺖ اﻟﺸﻌﺎع ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد و ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲﺗﻮان ﻃﻮﻟﻲ از ﭘﻨﺠﺮه را اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮد ﻛﻪ در ﻋﻴﻦ ﺣﻔﻆ اﻋﺘﺒﺎر ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮﻟﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﺷﻮاري اﻳﻦ روﻳﻜﺮد و واﺑﺴﺘﮕﻲ آن ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻳﺪه اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻪ ذﻫﻦ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﭘﻴﺪاﻳﺶ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺮدﻳﺪ. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ.

4-3-2 آﻧﺎﻟﻴﺰ چند رزولوشنه ^[34]

ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺛﺎﺑﺖ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه رﻳﺸﻪ در اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ^[35] دارد. ﻃﺒﻖ اﻳﻦ اﺻﻞ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ داﺷﺖ، ﻳﻌﻨﻲ ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﭼﻪ زﻣﺎن ﻫﺎﻳﻲ وﺟﻮد دارد، ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻛﺪام ﺑﺎزه ﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ، ﭼﻪ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ. اﻳﻦ اﺻﻞ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد.

اﮔﺮﭼﻪ ﻣﺸﻜﻼت رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ (اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ) ﺑﻮده و رﺑﻄﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺪارد، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﻴﺸﺘﺮ آﺷﻨﺎ ﺷﺪه و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً از آن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻨﮓ ﺑﻨﺎي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻬﺮه ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮد.

ﻣﻨﻈﻮر از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻫﺎي ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺑﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﺴﺎن رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻲﺷﻮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﺪف آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، اراﺋﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎدﻗﻴﻖ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ و در ﻣﻘﺎﺑﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب و رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ. اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺑﻪ وﻳﮋه در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داراي ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ در ﻣﺪت زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮده و ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﺋﻴﻦ آنﻫﺎ ﺑﺮاي ﺑﺎزهﻫﺎي ﺑﻠﻨﺪ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ، ﻣﻔﻴﺪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦﻛﻪ اﻛﺜﺮ ﻗﺮﻳﺐ ﺑﻪ اﺗﻔﺎق ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﻋﻤﻞ ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﻣﻮاﺟﻪ ﻫﺴﺘﻴﻢ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل، ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻜﺘﺮوﻛﺎردﻳﻮﮔﺮافی^[36] ،ﻧﻮار ﻗﻠﺐ، را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﺘﺎً ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل وﺟﻮد دارد ،ﺧﻂ ﭘﺎﻳﻪ و ﻗﻄﻌﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﻮجﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﻮار ﻗﻠﺐ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل داراي ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮاي ﻳﻚ دوره زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﺗﺎه و در اواﺳﻂ ﻫﺮ ﺳﻴﻜﻞ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻦ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻣﻮجﻫﺎيPQRST ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. در اداﻣﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاري ﺑﺮاي آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. اما قبل از آن با مفهوم موجک به عنوان پایه ای برای تبدیل موجک آشنا خواهیم شد .

5-3-2 آشنایی با موجک

واژه موجک ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎي ﻣﻮج ﻛﻮﭼﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺮﺧﻲ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻫﺎی فارسی ، ﺗﻌﺒﻴﺮ ویولت ﺑﺮاي آن آورده ﺷﺪه اﺳﺖ. دﻟﻴﻞ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن و ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻋﻠﺖ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻣﻮج ﻧﻴﺰ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ.[5]

موجک یک تابع نوسانی در یک زمان محدود می باشد که میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر می باشد . به عبارت دقیقتر یک تابع وقتی موجک نامیده می شود که دارای شرایط زیر باشد .

• یک تابع با ماهیت نوسانی
• در یک بازه زمانی محدود
• میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر باشد .

توابع موجک بسیار زیادی موجود می باشند که ساده ترین آنها موج هار می باشد .

اگر موجک را با سینوس که پایه تبدیل فوریه می باشد مقایسه کنیم می بینیم که سینوس یک دوره محدود ندارد بلکه از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه می یاید . و در حالیکه رفتاری قابل حدث و لطیف دارد . اما در مقابل موجک دارای رفتاری نامنظم و شکلی نا متقارن می باشد .

شکل 2 - 6 موج سینوسی در مقایسه با موجک [10]

همانطور که در بخش قبل دیدیم آنالیز فوریه ، شامل شکستن یک سیگنال به مولفه های سینوسی با فرکانس های مختلف می باشد . به طور مشابه ، آنالیز موجک شامل شکستن سیگنال به نسخه های شیفت یافته شده و مقیاس شده از موجک مادر می باشد .

فقط با یک نگاه کلی به تصویر (6-2) موج سینوسی و موجک می توانید درک کنید که سیگنال های با تغییرا ت سریع می توانند به صورت بهتری توسط موجک نامنظم در مقابل موج سینوسی با رفتاری لطیف تجزیه و تحلیل شوند . [10]

6-3-2 تبدیل موجک پیوسته ^[37]

تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در شیفت های زمانی و با مقیاس های متفاوت تعریف شده است .

(2-7)

حاصل تبدیل موجک پیوسته ضرایبی می باشند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند. [10]

ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان روﺷﻲ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اراﺋﻪ ﮔﺮدﻳﺪ و ﻫﺪف آن، ﻓﺎﺋﻖ آﻣﺪن ﺑﺮ ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ. در آﻧﺎﻟﻴﺰ موجک، ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ (موجک) ﺿﺮب ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﻘﺶ ﻫﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه را دارد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻗﺒﻞ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮ روي ﻗﻄﻌﻪﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻧﺠﺎم ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻣﺎ ﻣﺎﻫﻴﺘﺎً دو اﺧﺘﻼف ﻋﻤﺪه ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه دارد

1- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﭘﻴﻚﻫﺎي ﻣﻨﻔﺮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﻣﻨﻔﻲ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.

2- در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻋﺮض ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻮازات ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺣﺘﻢ این خاصیت ﻣﻬﻤﺘﺮﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک اﺳﺖ.

ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﮔﺮدد:

(2-8)

ﻛﻪ در آن τ وs ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي اﻧﺘﻘﺎل و ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل دﻗﻴﻘﺎً ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺘﻘﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻴﺰان ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ ﭘﻨﺠﺮه را ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲ ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ وﺿﻮح، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ را درﺑﺮدارد. اﻣﺎ ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ فوریه زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﻧﺪارﻳﻢ. در ﻋﻮض، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس را دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ارﺗﺒﺎط دارد. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ s =1/ f. ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس ﺟﻠﻮﺗﺮ آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ. در راﺑﻄﻪ (8-2) ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر^[38] ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد . واژه ﻣﺎدر ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺗﻤﺎﻣﻲ ﻧﺴﺨﻪﻫﺎي اﻧﺘﻘﺎل ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﻫﻤﮕﻲ از روي ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اوﻟﻴﻪ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً موجک ﻣﺎدر ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﻋﻠﻤﻲ، موجک ﻣﺎدر، ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻟﮕﻮ (proptotype) ﺟﻬﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺳﺎﻳﺮ ﭘﻨﺠﺮه ﻫﺎ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ .

ما در حال حاضر با این واقعیت که آنالیز موجک یک دید زمان – مقیاس از سیگنال به ما می دهد آشنا هستیم . در بخش های بعدی می خواهیم با مفاهیم مقیاس و انتقال موجک آشنا شویم .

7-3-2 مقیاس^[39]

مقیاس کردن موجک به طور ساده به معنی بسط دادن ،فشرده کردن ، آن می باشد موجک مادر می باشد . شکل (7-2) مفهوم مقیاس کردن را به خوبی نمایش می دهد.

شکل 2 - 7 مقیاس کردن موجک ، a بیانگر مقیاس می باشد .[10]

آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﻨﻮان ﺷﺪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺟﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس وﺟﻮد دارد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ از ﻣﻌﻨﻲ اﻳﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﺑﺮﻣﻲ آﻳﺪ، ﻧﻮﻋﻲ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس درون آن ﻧﻬﻔﺘﻪ اﺳﺖ. درﺳﺖ ﺑﻪ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻘﻴﺎس در ﻧﻘﺸﻪ، در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺰرگ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ دﻳﺪ ﻛﻠﻲ و ﻓﺎرغ از ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ (ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ) و ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻧﮕﺎه ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ و ﻟﺬا در ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﺑﺎﻻ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.

ﻣﻘﻴﺎس ﻛﺮدن، ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ اﭘﺮاﺗﻮر رﻳﺎﺿﻲ، ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻳﺎ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، در مقیاس های ﺑﺎﻻ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ و در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﻘﺒﺾ ﻣﻲ ﺷﻮد، ﻛﻠﻴﺎت را ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس در ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، در ﻣﺨﺮج ﻇﺎﻫﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ازاي ﻣﻘﺎدﻳﺮs >1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺑﻪ ازاي s <1 ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻓﺸﺮده ﻣﻲﮔﺮدد.[9]

8-3-2 انتقال ^[40]

در بخش قبل مفهوم مقیاس کردن را با نمایش یک شکل به خوبی نشان دادیم . در این بخش نیز می خواهیم مفهوم انتقال را با نمایش شکل بیان کنیم . شکل 2-8 مفهوم انتقال را به خوبی نمایش می دهد . [10]

شکل 2 - 8 انتقال تابع موجک[10]

9-3-2 پنج مرحله تا رسیدن به تبدیل موجک پیوسته

تبدیل موجک پیوسته به صورت مجموع حاصظرب سیگنال در تابع موجک در انتقال های زمانی و با مقیاس های متفاوت می باشد. این فرایند ضرایبی تولید می کند که تابعی از مقیاس و مکان می باشند.

در واقع پنج مرحله برای رسیدن به تبدیل موجک پیوسته نیاز داریم :

1. یک موجک به عنوان موجک مادر انتخاب کرده و آن را با قسمت ابتدایی سیگنال همانند شکل (2-9) مقایسه کنید .
2. مقدار C را که بیانگر میزان شباهت ^[41] موجک با قسمت انتخابی از سیگنال می باشد را حساب کنید . به این نکته توجه کنید که مقادیر بالاتر C بیانگر شباهت بیشتر می باشد . به طور دقیق تر اگر انرژی سیگنال و انرژی موجک برابر یک باشد C می تواند به عنوان ضریب همبستگی تفسیر شود .

توجه : نتیجه به نوع موجکی که به عنوان موجک مادر انتخاب می کنید بستگی دارد .

شکل 2 - 9 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره ی 1 [10]

1. موجک را به سمت راست انتقال می دهیم و مراحل 1 تا 2 را تا زمانی، که کل سیگنال را پوشش دهیم تکرار می کنیم .

شکل 2 - 10 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 2 [10]

1. موجک مادر را به مقیاس جدید برده و مراحل 1 تا 3 را تکرار می کنیم .

شکل 2 - 11 مراحل تبدیل موجک گسسته ، نمای شماره 3 [10]

1. مراحل 1 تا 4 را برای تمامی مقیاس ها تکرار کنید .

بعد از انجام این مراحل شما ضرایب تولید شده حاصل از تبدیل موجک یک سیگنال را دارید . [10]

ﺷﻜﻞ (2-12) ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎي اﻳﺴﺘﺎ و ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎي ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه در ﺷﻜﻞ (2-4 ) الف را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از موجک ﻣﺎدر db8 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدﻳﺪه اﻧﺪ.

ﺧﺎﺻﻴﺖ آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺷﻜﻞ (2-12) ﺑﻪ وﺿﻮح ﻣﺸﺨﺺ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ) رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ ﺑﻬﺘﺮي دارﻳﻢ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ در ﻣﻘﻴﺎس ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﻤﻮدار ﺑﺎرﻳﻚﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ دﻗﺖ ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮي ﻣﻲ ﺗﻮان ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ را ﺑﻴﺎن ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺧﻮد ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺿﻌﻴﻒ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ داراي رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ در ﻃﻮل ﻣﺤﻮر ﻣﻘﻴﺎس، ﭘﻬﻦ ﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ. [9]

شکل 2 - 12 نمایش سه بعدی تبدیل موجک پیوسته سیگنال های نشان داده شده در شکل 2-1 با بهره گرفتن از موجک مادر 8 db (الف) تبدیل موجک سیگنال ایستا ، (ب) تبدیل موجک سیگنال نا ایستا [4]

10-3-2 رزولوشن در صفحه زمان – فرکانس

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﻧﮕﺎﻫﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺧﻮاﻫﻴﻢ اﻧﺪاﺧﺖ. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻋﺎﻣﻞ اﺻﻠﻲ روي آوردن از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻮد. ﺷﻜﻞ(2-13) ﺗﻮﺻﻴﻒﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ رزوﻟﻮﺷﻦ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ را ﺑﺮاي ﺗﺒﺪﻳﻞﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﻫﺮ جعبه ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار در ﺻﻔﺤﻪ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺗﻮﺟﻪ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﺎت زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ، ﻫﺮ جعبه ﻳﻚ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ دارد ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻘﺪار دﻗﻴﻖ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﺎﺑﻞ داﻧﺴﺘﻦ ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻳﻚ جعبه ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ، ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ (موجک ﻳﺎ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه) ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻣﻲﮔﺮدﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (2-13) ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ واﺳﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮدن ﭘﻨﺠﺮه در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، رزوﻟﻮﺷﻦ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه در ﻫﻤﻪ ﺟﺎي ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ. ﺣﺎل آنﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻃﻮل و ﻋﺮض جعبه های ﻣﺴﺘﻄﻴﻠﻲ ﻛﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻟﻤﺎن ﻫﺎي رزوﻟﻮﺷﻦ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﻤﭽﻨﺎن ﻣﺴﺎﺣﺖ آنﻫﺎ ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻫﺮ جعبه ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﻳﻚ ﺑﺨﺶ ﻳﻜﺴﺎن از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻟﺒﺘﻪ در ﺟﺎﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ، ﺑﻪ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺳﻬﻢ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ)، ارﺗﻔﺎع جعبه ها ﻛﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ و ﻋﺮض جعبه ها ﺑﺰرگ ﺗﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪه رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ ( ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﺑﺎﻻ)، ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ ﻛﺎﻫﺶ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﺗﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎﺑﺪ و در ﻋﻮض ارﺗﻔﺎع آنﻫﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲ ﻳﺎﺑﺪ ﺗﺎ در ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻧﻴﺎزي ﺑﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺧﻮب ﻧﺪارﻳﻢ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺪﺗﺮ ﺷﻮد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ها ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴﺎوي ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ دارد. ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺎرغ از اﻳﻦ ﻛﻪ موجک ﻣﺎدر ﺑﻪ ﻛﺎررﻓﺘﻪ ﭼﻪ ﺑﺎﺷﺪ، ﻛﺮان ﭘﺎﺋﻴﻦ ﻣﺴﺎﺣﺖ جعبه ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﺪدπ / 4 ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺮ اﺳﺎس اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ، ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻋﺮض جعبه ﻫﺎ را ﺗﺎ ﺟﺎي ﻣﻤﻜﻦ ﻛﻢ ﻛﺮد. [5]

شکل 2 - 13 نمایش رزولوشن در صفحات مختلف (الف ) صفحه زمان (ب) صفحه فرکانس (پ) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل فوریه زمان – کوتاه (ت) صفحه زمان – فرکانس در تبدیل موجک [4]

4-2 رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، اﻳﺪه اﺻﻠﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﻗﺎﻟﺐ رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ اي ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد. قبل از بیان روابط ریاضی مربوط به تبدیل موجک برخی مفاهیم ریاضیاتی که با آن ها در این بخش سر و کار داریم را مورد بررسی قرار می دهیم .

تعریف استقلال خطی

مجموعه بردار های {V₁ … V_m} را مستقل خط می گوییم هر گاه c₁V₁+ …. C_mV_m = 0 آنگاه c₁=c₂=…=c_m

تعریف پایه

مجموعه ای متناهی از بردارها همانند {v₁,…,v_m} را یک پایه فضای برداری V می نامند هر گاه این مجموعه مولد V و مستقل خطی باشند . ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ از ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري V ﻣﺠﻤﻮﻋﻪاي از ﺑﺮدارﻫﺎي ﻣﺴﺘﻘﻞ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﻫﺮ ﺑﺮدار v در ﻓﻀﺎي V را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﻳﻚ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ از اﻳﻦ ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﻧﻮﺷﺖ. [6]

تعریف بعد در فضای برداری

در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻳﺎﻓﺖ، اﻣﺎ ﻫﻤﮕﻲ آنﻫﺎ داراي ﺗﻌﺪاد ﻳﻜﺴﺎﻧﻲ ﺑﺮدار ﭘﺎﻳﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻌﺪاد را ﺑﻌﺪ آن ﻓﻀﺎي ﺑﺮداري ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.[6]

تعریف بردارهای متعامد ^[42]

فرض کنید V یک فضای حاصل ضرب داخلی باشد . دو بردار ناصفر u , v در V متعامد نامیده می شوند اگر <u,v> = 0 [6]

دومتعامد^[43]

دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻪ دو ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻛﻪ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣﺎ ﻫﺮﻛﺪام ﺑﻪ ﺗﻨﻬﺎﻳﻲ ﻳﻚ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻧﻤﻲدﻫﻨﺪ ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد. [4]

با توجه به مفاهیم بالا ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻫﺮ ﺑﺮدار دﻟﺨﻮاه در ﻓﻀﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد:

(2-9)

ﻛﻪ در آن، bk ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺧﻄﻲ ﺑﻮده و N ﺑﻌﺪ ﻓﻀﺎﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻪ در ﻓﻀﺎي αk ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﻓﻀﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ، ﺑﺮداري ﺑﻴﺎن ﺷﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺗﻌﻤﻴﻢ داد ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻪ ﺑﺮدارﻫﺎي ﭘﺎﻳﻪ ﺟﺎي ﺧﻮد را ﺑﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ) ﻣﻲدﻫﻨﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ دﻟﺨﻮاه(f(t را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻧﻤﻮد:

(2-10)

ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ دﻳﺪﻳﻢ، ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻼوه، اﻳﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﻮده و ﻟﺬا اﻳﻦ ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ را ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﻣﻲدﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل اوﻟﻴﻪ را از روي ﺗﺒﺪﻳﻞﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻧﻤﻮد. ﻓﺮض ﻛﻪ (f(t و(g(t دو ﺗﺎﺑﻊ در ﻓﻀﺎي دوﺑﻌﺪي ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺿﺮب داﺧﻠﻲ اﻳﻦ دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﻣﻲ ﺷﻮد

(2-11)

ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، راﺑﻄﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:

= (2-12)

ﻛﻪ در آن :

(2-13)

ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳﻒ اراﺋﻪ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-13) ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺿﺮب داﺧﻠﻲ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳﺖ، ﻣﻲ ﺗﻮان اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺑﺮداﺷﺖ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک در ﺣﻘﻴﻘﺖ اﻧﺪازهﮔﻴﺮي ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺑﻴﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ( موجک ها) اﺳﺖ. ﻣﻨﻈﻮر از ﺷﺒﺎﻫﺖ در اﻳﻦ ﺑﺤﺚ، ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻣﻴﺰان ﻧﺰدﻳﻜﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ موجک در ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮردﻧﻈﺮ اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، اﮔﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ، در اﻳﻦ ﺻﻮرت وﻳﻮﻟﺖ ﻣﻘﻴﺎس ﺷﺪه، ﺷﺒﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺿﺮﻳﺒﻲ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﻣﻘﺪاري ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ داﺷﺖ.

ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، در ﻫﺮ ﻓﻀﺎ ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ از ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه اي ﺑﺮﺧﻮردارﻧﺪ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﻮاص ﺑﺴﻴﺎر ﺧﻮب و ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه اي ﺑﻪوﻳﮋه در ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧﻮاﻫﻨﺪ داﺷﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺗﻌﺎﻣﺪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ، ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ در راﺑﻄﻪ (2-14) ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ:

(2-14)

ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻧﻤﻮد:

(2-15)

در ﻛﻨﺎر اﻳﻦ ﺧﻮاص ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨﺪه، ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد، ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ در دﺳﺘﺮس ﻧﺒﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﻣﻮاﻗﻊ ﻣﻲﺗﻮان از ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎي دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ اﮔﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎي دوﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻮﺟﻮد ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﺗﺮي ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﻓﺮﻳﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.

5-2 ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک پیوسته

در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﻼﺻﻪ، راﺑﻄﻪ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک و ﺷﺮط ﻻزم ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ را از دﻳﺪﮔﺎه رواﺑﻂ رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺷﺪه در راﺑﻄﻪ (2-15) ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه:

(2-16)

ﺑﺮاي ﺑﺮﻗﺮار ﺑﻮدن اﻳﻦ ﺷﺮط ﺑﺎﻳﺪ موجک ﻣﺎدر، ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ارﺿﺎ ﺷﺪن اﻳﻦ ﺷﺮط در ﺑﺴﻴﺎري ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﺳﻬﻮﻟﺖ اﻣﻜﺎنﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ، ﻣﺴﺘﻘﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ. در اﻳﻦ ﺻﻮرت، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ از راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد:

(2-17)

ﻛﻪ در آن c_ψ ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ و ﺑﻪ موجک ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﺑﺮﮔﺸﺖﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻲ ﺑﺎزﺳﺎزي ﻛﺎﻣﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﻋﻤﻮﻣﺎً اﻳﻦ ﺛﺎﺑﺖ را ﺛﺎﺑﺖ ﭘﺬﻳﺮش ^[44] ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺑﺮ اﻳﻦ اﺳﺎس، ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش ^[45]ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﺷﻮد:

(2-18)

ﻛﻪ در اﻳﻦ راﺑﻄﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر اﺳﺖ.

6-2 ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ

ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮﻫﺎ در اﻧﺠﺎم ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت اﻣﺮوزي، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ در ﻛﻨﺎر ﻣﻄﺮح ﻛﺮدن اﻳﺪه ﻫﺎي ﭘﺮدازﺷﻲ، ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ آنﻫﺎ را درﺧﻮر ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻧﻴﺰ درآورد. ﺗﺒﺪﻳﻼﺗﻲ ﻛﻪ ﺗﺎ اﻳﻨﺠﺎ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، از ﻓﻮرﻳﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﻫﻤﮕﻲ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ و اﻣﻜﺎن ﻛﺎرﺑﺮد ﻋﻤﻠﻲ در ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ را ﻧﺪارﻧﺪ. ﻟﺬا ﺿﺮوري اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ.

در ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺳﺎده ﺗﺮﻳﻦ روش، ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري از ﺻﻔﺤﻪ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ آن اﺳﺖ. ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ، ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ روش اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ در ﻣﻮرد ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري را ﻛﺎﻫﺶ داد. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ (ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦﺗﺮ) ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ ^[46] کاهش داد . ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ ﻓﺮض اﻳﻦ ﻛﻪ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداري در ﻣﻘﻴﺎس S₁ ، برابر با N₁ باشد ، نمونه بر داری در مقیاس S₁ > S₂ با نرخ N₁ < N₂ صورت خواهد پذیرفت . رابطه دقیق بین این دو نرخ را چنین می توان بیان نمود . [9]

(2-19)

ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري را ﻛﺎﻫﺶ داد ﺗﺎ ﺑﺘﻮان در زﻣﺎن ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﻲ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻲ ﻧﻤﻮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﮔﺮ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل از روي ﺗﺒﺪﻳﻞ آن ﻣﺪﻧﻈﺮ ﻧﺒﺎﺷﺪ، ﻣﻲﺗﻮان اﻟﺰاﻣﺎً ﻧﺮخ ﻧﺎﻳﻜﻮﺋﻴﺴﺖ را رﻋﺎﻳﺖ ﻧﻜﺮد. ﻫﻤﺎﻧﮕﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪ، ﺗﺎﺑﻊ موجک ﻣﺎدر ﻛﻪ در ﺷﺮط ﭘﺬﻳﺮش (2-18) ﺻﺪق ﻛﻨﺪ، ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از راﺑﻄﻪ (2-17) ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻓﻘﻂ در ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﺻﺎدق اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﻴﺶ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻧﻴﺰ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ.

ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﺳﺆال ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ، ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت ﺑﻬﺘﺮ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻧﻴﺰ ﺗﺤﺖ ﺷﺮاﻳﻄﻲ ﻗﺎدر ﺑﻪ ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.

ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ، اﺑﺘﺪا ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎسS ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪي ﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﻲ، ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﭘﺲ از آن، ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻣﻘﻴﺎس ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮي ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﻴﺎس، ﻳﻚ ﻧﺮخ ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد. اﺻﻄﻼﺣﺎً ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻧﻤﻮﻧﻪﺑﺮداري ﺑﺮ روي ﻳﻚ درﺟﻪﺑﻨﺪي دودوﻳﻲ^[47] اﻧﺠﺎم ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﺷﻜﻞ (2-14) ﻧﺤﻮه ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻛﺮدن ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺑﺎﻻ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ.

ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از مفاهیم بالا ، ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﻴﺎن ﻣﻲ ﮔﺮدد:

شکل 2 - 14 محل موج ها به هنگام گسسته کردن بر روی درجه بندی دودویی [5]

(2-20 )

ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، ﺑﺮاي ﺑﺎزﺳﺎزي ﺳﻴﮕﻨﺎل از روي ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻮﺷﺖ:

(2-21)

7-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ^[48]

اﮔﺮﭼﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻛﻪ در ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺑﺎ آن آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻳﻢ، ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي را دارد اﻣﺎ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻧﺴﺨﻪ ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺷﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ، ﻳﻚ ﺳﺮي موجک اﺳﺖ ﻛﻪ از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ﻟﺬا اﻃﻼﻋﺎت ﻣﻮﺟﻮد در آن ﺑﺴﻴﺎر زاﺋﺪ و اﺿﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ ﺑﻲ دﻟﻴﻞ ﺑﺎر ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻟﺬا از ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ از ﻟﺤﺎظ ﭘﻴﺎده ﺳﺎزي ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎدهﺗﺮ و ﺑﻬﻴﻨﻪﺗﺮ اﺳﺖ. اﺻﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﻪ روﺷﻲ ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان کدگذاری زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ^[49]ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد ﻛﻪ در ﺳﺎل 1976 ﺳﻨﮓﺑﻨﺎي اوﻟﻴﻪ آن ﮔﺬارده ﺷﺪ. اﻳﺪه اﺻﻠﻲ اﻳﻦ روش ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻧﻮﻋﻲ ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻣﻘﻴﺎس از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺑﺎاﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي دﻳﺠﻴﺘﺎل اراﺋﻪ میﮔﺮدد. ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک، حاصل ﺷﺒﺎﻫﺖ ﺳﻨﺠﻲ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺘﻮاي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ (ﻣﻘﻴﺎﺳﻲ) ﺳﻴﮕﻨﺎل و ﺗﺎﺑﻊ موجک در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ اﺳﺖ. ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ ﻧﻴﺰ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﻣﻨﻘﺒﺾ/ ﻣﻨﺒﺴﻂ ﺷﺪه و ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و در ﻫﺮ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ، از ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آن در ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻧﺘﮕﺮال زﻣﺎﻧﻲ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴﺴﺘﻪ ، ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻗﻄﻊﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺮاي ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻣﻘﻴﺎسﻫﺎي ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺎ ﻋﺒﻮر ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎي ﺑﺎﻻﮔﺬر و ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر، ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ آن ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲ ﺷﻮد. در ﺣﺎﻟﺖ ﮔﺴﺴﺘﻪ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺗﻮﺳﻂ ﻋﻤﻠﻜﺮدﻫﺎي ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ ﻛﻨﺘﺮل ﻣﻲ ﺷﻮد و ﻣﻘﻴﺎس از ﻃﺮﻳﻖ نمونه برداری رو به پایین ^[50]ﻳﺎ نمونه برداری رو به بالا ^[51] ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲﻛﻨﺪ . به طور معمول این روند تغییر نرخ نمونه ها بر روی یک شبکه دودویی با S₀ = 2 و انجام می پذیرد . بنابراین مقیاس ها و شیفت های زمانی متناظر به ترتیب عبارتند از s=2^j و .

روﻧﺪ ﭘﺮدازش ﺑﺎ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﭼﻨﻴﻦ آﻏﺎز ﻣﻲ ﺷﻮد؛ در اﺑﺘﺪا ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎل ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر ﻧﻴﻢ ﺑﺎﻧﺪ ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ [h[n ﻋﺒﻮر ﻣﻲﻛﻨﺪ، و ﻟﺬا ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﻛﺎﻧﻮﻟﻮﺷﻦ ورودي و ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ ﻓﻴﻠﺘﺮ. در ﻧﺘﻴﺠﻪ اﻳﻦ ﻋﻤﻞ ﻓﻴﻠﺘﺮﻳﻨﮓ، ﺗﻤﺎم ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎي ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﻧﺼﻒ ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺣﺬف ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎπ / 2 رادﻳﺎن، ﻧﻴﻤﻲ از ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎ ﻗﺎﺑﻞ ﺣﺬف اﻧﺪ. ﻟﺬا ﺑﺎ ﺣﺬف ﻳﻜﻲ در ﻣﻴﺎن ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ، ﻃﻮل ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺼﻒ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ ﺑﺪون اﻳﻦﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ را از دﺳﺖ داده ﺑﺎﺷﻴﻢ. روﻧﺪ ﻣﺸﺎﺑﻬﻲ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ ﻓﻴﻠﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎل ﺑﺎﻻﮔﺬر ﻧﻴﻢ ﺑﺎﻧﺪ ﺑﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺿﺮﺑﻪ [g[n اﻧﺠﺎم ﻣﻲﭘﺬﻳﺮد. در ﻧﺘﻴﺠﻪ در ﺧﺮوﺟﻲ اوﻟﻴﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ از اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ، دو ﻧﺴﺨﻪ، ﻳﻜﻲ ﺑﺎﻻﮔﺬر و دﻳﮕﺮي ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر، ﺑﺎ ﻃﻮل ﻛﺎﻫﺶﻳﺎﻓﺘﻪ (ﻧﺼﻒ ﺷﺪه) از ﺳﻴﮕﻨﺎل اوﻟﻴﻪ ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﻨﺪ:

(2-22)

(2-23)

ﺑﺎ اﻳﻦ ﻋﻤﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻧﺼﻒ ﺷﺪه و در ﻣﻘﺎﺑﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻳﻦ روﻧﺪ را ﻣﻲﺗﻮان ﻣﺠﺪداً ﺑﺮروي ﻧﺴﺨﻪ ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر ﺷﺪه اﻋﻤﺎل ﻧﻤﻮد و در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ، ﺑﺎ ﻛﺎﻫﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ﻧﺼﻒ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻗﺒﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را دو ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ اﻳﺪه ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ، ﺑﻪ روش ﺑﺎﻧﻚﻓﻴﻠﺘﺮ ﻣﺸﻬﻮر اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ (2-16) ﺑﺮاي ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل دﻟﺨﻮاه و ﺑﺮاي 3 ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﭘﺎﺋﻴﻦﮔﺬر، ﺷﻜﻞ اوﻟﻴﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل را دﻧﺒﺎل ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ، ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ، ضرایب ﺗﻘﺮﻳﺐ^[52] ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺿﺮاﻳﺐ ﺧﺮوﺟﻲ ﻓﻴﻠﺘﺮ ﺑﺎﻻﮔﺬر، ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻي ﺳﻴﮕﻨﺎل را درﺑﺮدارﻧﺪ، ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺿﺮاﻳﺐ، ضرایب ﺟﺰﺋﻴﺎت ^[53] ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ ﺗﻌﺪاد ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻴﺰان ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻧﻴﺰ ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ.

شکل (15-2) تبدیل موجک گسسته یک سطحی را بر روی یک سیگنال واقعی به شکل مناسبی نمایش می دهد .

شکل 2 - 15 نمایش نحوه محاسبه تبدیل موجک گسسته سه مرحله ای با بهره گرفتن از ایده بانک فیلتر برای یک سیگنال دلخواه [4]

باﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺮاﺣﻞ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ، ﺑﻪ ﺧﺼﻮﺻﻴﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد. ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺴﺴﺘﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل از ﻛﻨﺎر ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﻗﺮار دادن ﺧﺮوﺟﻲﻫﺎي ﻓﻴﻠﺘﺮﻫﺎ، از ﻣﺮﺣﻠﻪ اول اﻋﻤﺎل ﻓﻴﻠﺘﺮﻳﻨﮓ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺎن، ﺗﻌﺪاد ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎي ﺳﻴﮕﻨﺎل ﮔﺴﺴﺘﻪ ورودي ﺑﺮاﺑﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.

شکل 2 - 16 تبدیل موجک گسسته [28]

8-2 عکس تبدیل موجک گسسته ^[54]

در قسمت قبل یاد گرفتیم که چگونه از تبدیل موجک برای تجزیه یک سیگنال استفاده کنیم ، به این فرایند تجزیه^[55] گفته می شود . اما نیمه دوم ماجرا چگونگی ترکیب مولفه های بدست آمده از مرحله قبل برای ساختن سیگنال اصلی می باشد به طوری که اطلاعاتی از دست نرود . به این فرایند بازسازی ^[56] یا ترکیب^[57] گفته می شود .

برای باز سازی سیگنال از ضرایب تبدیل موجک به دست آمده در بخش پیشین استفاده می کنیم . شکل (2-17) فرایند بازسازی سیگنال را به خوبی نمایش می دهد .

شکل 2 - 17 عکس تبدیل موجک گسسته [10]

جایی که در تجزیه موجک مراحل فیلتر شدن و نمونه برداری رو به پایین انجام می گیرد ، فرایند بازسازی موجک شامل نمونه برداری رو به بالا و فیلتر شدن می باشد . در این جا شکل (2-18) این عملیات را به خوبی نمایش می دهد .

شکل 2 - 18 تبدیل موجک گسسته و عکس آن در یک نگاه [10]

9-2 ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک گسسته دو ﺑﻌﺪي

در ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺸﻴﻦ ﺑﺎ اﺻﻮل رﻳﺎﺿﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻳﻢ. ﺑﻪ منظور ﺗﻌﻤﻴﻢ اﻳﺪه ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دو ﺑﻌﺪي، اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎده اي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ در اداﻣﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﻫﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل دو ﺑﻌﺪي ﻛﻪ از آن ﻋﻤﻮﻣﺎً ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳﺎد ﻣﻲﺷﻮد، ﻳﻚ ﻣﺎﺗﺮﻳﺲ از اﻟﻤﺎن ﻫﺎ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﻄﺮ و ﺳﺘﻮنﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﭼﻴﺪه ﺷﺪهاﻧﺪ. ﺑﺎ ﻛﻤﻲ دﻗﺖ ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﺳﺘﻮن ﻳﺎ ﻫﺮ ﺳﻄﺮ از ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺗﺼﻮر ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ داﻣﻨﻪ آن، ﻣﻴﺰان روﺷﻨﺎﻳﻲ ﻧﻘﺎط ( ﭘﻴﻜﺴﻞﻫﺎي) ﻣﻮﺟﻮد در آن ﺳﺘﻮن ﻳﺎ ﺳﻄﺮ ﺧﺎص را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺷﻜﻞ(2-19) ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻄﺮ ﻳﺎ ﺳﺘﻮنﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ اﻳﻦ اﻳﺪه، ﻣﻲﺗﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک را ﺑﺮ روي ﻫﺮ ﺳﻄﺮ و ﻳﺎ ﺳﺘﻮن از ﺗﺼﻮﻳﺮ، ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اﻋﻤﺎل ﻛﺮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ، ﻧﺤﻮه ﭘﻴﺎده ﺳﺎزي ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک دوﺑﻌﺪي ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺻﻮرت اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ، ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر اﻋﻤﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک دوﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ، اﺑﺘﺪا ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﻪ ﺳﻄﺮﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻲﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﺳﺘﻮنﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﺮخ دو نمونه گیری به سمت پایین ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ ﻓﻘﻂ ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎي واﻗﻊ در ﻣﺤﻞ ﻫﺎي زوج ﺑﺎﻗﻲ ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ. در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ، ﻣﺠﺪداً ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺑﺮ ﺳﺘﻮنﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻲ ﮔﺮدد و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً ﺳﻄﺮﻫﺎ ﺑﺎ ﻧﺮخ دو نمونه گیری به سمت پایین ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، چهار زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ.

ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺣﺎﻟﺖ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي، اوﻟﻴﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ از ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﻘﺮﻳﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻟﺤﺎظ ﻣﻘﺪار و ﺷﻜﻞ ﻇﺎﻫﺮي، ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ. ﺟﺪاي از زﻳﺮ ﺑﺎﻧﺪ ﺗﻘﺮﻳﺐ، سه زﻳﺮ ﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از آنﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﻓﻘﻲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ، ﻳﻜﻲ از آنﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ و آﺧﺮﻳﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ ﮔﺎﻫﺎً ﺑﻪ آن، ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻗﻄﺮي ﻧﻴﺰ ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. ﺷﻜﻞ (2-20) ، دو ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ وﻳﻮﻟﺖ دو ﺑﻌﺪي ﻳﻚ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺗﻘﺮﻳﺐ (ﻛﻪ ﺑﺎﻻ، ﺳﻤﺖ ﭼﭗ واﻗﻊ اﺳﺖ) ﺷﻜﻞ اوﻟﻴﻪ ﺣﻔﻆ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﻓﻘﻲ (ﺑﺎﻻ، ﺳﻤﺖ راﺳﺖ) ﺑﺨﺶﻫﺎي داراي رﻓﺘﺎر اﻓﻘﻲ ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ در ﻣﻲ آﻳﺪ. ﻣﺸﺎﺑﻬﺎً، در زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﺟﺰﺋﻴﺎت ﻋﻤﻮدي (ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﺳﻤﺖ ﭼﭗ) ﺑﺨﺶﻫﺎي داراي رﻓﺘﺎر ﻋﻤﻮدي ﻣﻮﺟﻮد در ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﻣﻲﺷﻮد. آﺧﺮﻳﻦ زﻳﺮﺑﺎﻧﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺟﺰﺋﻴﺎت اﺳﺖ ﻛﻪ در ﭘﺎﺋﻴﻦ، ﺳﻤﺖ راﺳﺖ ﻗﺮار دارد.[2]

شکل 2 - 19 سیگنال های یک بعدی به دست آمده از چند سطر و ستون دلخواه از یک نمونه سیگنال دوبعدی (تصویر) . [4]

شکل 2 - 20 تبدیل دوبعدی یک نمونه تصویر[4]

(الف) یک نمونه تصویر شامل انواع جزئیات (ب) یک مرحله تبدیل موجک و 4 زیر باند ایجاد شده

به بیانی دیگر ﺑﺮاي تصاویر دو ﺑﻌﺪي، ﺑﮑﺎر ﺑﺴﺘﻦ تبدیل موجک گسسته ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺮدازش تصویر بوسیله فیلترﻫﺎي دو ﺑﻌﺪي در ﻫﺮ ﺑﻌﺪ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ. فیلتر تصویر ورودي را ﺑﻪ ﭼﻬﺎر زیر ﺑﺎﻧﺪ غیر ﻫﻤﭙﻮﺷﺎﻧﯽ ﺑﺎ تفکیک ﭼﻨﺪ ﮔﺎﻧﻪ HH, HL, LH, LL تقسیم ﻣﯽ ﮐﻨﺪ. زیر ﺑﺎﻧﺪ LL ضرایب ﺑﺎ مقیاس بزرگ تبدیل موجک گسسته را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ. در ﺣﺎﻟﯽ ﮐﻪ زیر ﺑﺎﻧﺪ ﻫﺎي HH, HL, LH ﺿﺮایب ﺑﺎ مقیاس کوچک تبدیل موجک گسسته را ﻧﺸﺎن ﻣﯽ دﻫﺪ. ﺑﺮاي ﺑﺪﺳﺖ آوردن ضرایب ﻣﻮﺟﮏ ﺑﺎ مقیاس درﺷﺖ ﺑﻌﺪي، زیر ﺑﺎﻧﺪ LL ﺗﺎ رسیدن ﺑﻪ سطح نهایی N ﻣﺠﺪداً ﺗﺤﺖ تبدیل تبدیل موجک چندگانه ﻗﺮار می گیرد. وﻗﺘﯽ ﺑﻪ N برسیم N₃+1 زیر ﺑﺎﻧﺪ ﺷﺎﻣﻞ ,HL_X, HH_X LH_X, LL_X ﮐﻪ x در ﻣﺤﺪوده 1 ﺗﺎ N ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ خواهیم داﺷﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﺣﻮزة ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮﺟﻚ، ﺗﺼﻮﻳﺮ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻫﺮﻣﻲ، ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻧﭽﻪ در ﺷﻜﻞ (21-2) ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﺳﺖ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﺷﻮد.

شکل 2 - 21 ساختار تبدیل موجک تصویر [2]

10-2 موجک های چندگانه

1-10-2 مقدمه

در بخش قبل با مفاهیم موجک گسسته که به موجک اسکالر نیز مشهور می باشد آشنا شدیم . از آنجا که تبدیل موجک چندگانه تعمیمی از تبدیل موجک گسسته می باشد ، سعی بر آن داریم تا بیشتر بر روی تفاوت ها و شباهت ها بین این دو نوع تبدیل در این قسمت بپردازیم .

2-10-2 آشنایی با موجک چندگانه

همانند موجک های اسکالر ، تئوری موجک های چندگانه نیز بر پایه ایده آنالیز چند رزولوشونه می باشد .تفاوت بین این دو در وجود دو یا تعداد بیشتری تابع مقیاس و موجک در سیستم موجک چندگانه می باشد . در حالیکه تنها یک مورد تابع مقیاس و تابع موجک در موجک اسکالر موجود می باشد .[29]

موجک های چندگانه ممکن است به عنوان یک کلیت از موجک اسکالر در نظر گرفته شده باشد . با این حال، برخی تفاوت های مهم بین این دو نوع از تبدیل چند رزولوشن وجود داشته باشد. به طور خاص، موجک اسکالر یک تابع مقیاس و موجک دارد ، در حالی که موجک چندگانه ممکن است دو یا چند تابع مقیاس و موجک داشته باشد . به طور کلی، تبدیل موجک چند گانه می تواند r تابع مقیاس r تابع موجک مرتبط داشته باشد. برای r=2 می توان توابع مقیاس و متعاقبا موجک را با بهره گرفتن از نشان گذاری برداری نوشت .

(2-24)

(2-25)

به طوریکه تابع چند مقیاسه و تابع موجک چندگانه نامیده می شوند . r=1 به موجک اسکالر مرتبط می باشد . برای موجک اسکالر فرمول های زیر باید برقرا باشند .

(2-26)

(2-27)

برای موجک های چندگانه ، {} و {} فیلتر هایی2×2 به صورت ماتریس می باشند .

(2-28)

(2-29)

و به ترتیب دنباله ای از فیلتر موجک و فیلتر مقیاس می باشند به طوری که و برای k =1 ,2

3-10-2 انگیزه به کار گیری از تبدیل موجک چند گانه

هر تبدیل خوب باید چندین ویژگی مهم را داشته باشد: تعامد، برای اطمینان از کاهش همبستگی ضرایب باند فرعی ; تقارن (به عنوان مثال فاز خطی) برای پردازش سیگنال های با طول محدود بدون افزونگی و مصنوعات و فیلتر با طول محدود برای بهره وری محاسباتی. با این حال، بسیاری از تبدیل موجک های اسکالر واقعی توانایی پردازش این خواص را به طور همزمان ندارند . برای دور زدن این محدودیت ها، موجک های چندگانه ارائه شده است که در آن این امکان میسر شده تا تعامد و تقارن با شل کردن^[58] محدودیت ثابت زمان با همدیگر وجود داشته باشد .

به بیانی دیگر از نقطه نظر پردازش تصویر نشان داده شده است که تبدیل موجک اسکالر نسبت به متد قدیمی تبدیل گسسته سینوسی مبتنی بر بلوک مزیت های زیادی دارد . اما برای ارائه عملکرد خوب در کاربرد های حوزه پردازش تصویر از قبیل نهان نگاری و فشرده سازی تبدیل موجک نیاز به فیلتری دارد که ترکیبی از ویژگی ها از قبیل ،تکیه گاه جمع و جور ^[59]، تعامد ، تقارن ، نظم فیلتر و لطیف بودنداشته باشد . با این حال امکانات طراحی برای موجک اسکالر محدود بوده و به طور ویژه اینکه به طور همزمان نمی تواند به تعامد و تقارن دست یابد . بدین ترتیب تبدیل موجک چندگانه گسسته برای پاسخگویی به این نیاز طراحی شده است . تبدیل موجک چندگانه گسسته با به کار گیری چندین فیلتر ، درجه بیشتری از آزادی را نسبت به موجک اسکالر سنتی فراهم کرده و بنابراین می تواند به طور همزمان تعامد ، تقارن و درجه بالایی از تقریب ^[60]را ارائه کند .

4-10-2 تبدیل موجک چندگانه

برای تجزیه یک سیگنال دوبعدی (تصویر ) الگوریتم یک بعدی بر روی هر بعد اعمال می شود ، بدین صورت که بر روی هر سطر به طور جداگانه تبدیل موجک چندگانه انجام داده و سپس این عمل را بر روی ستون های آن انجام می دهیم . نتیجه این عمل را می توانید در شکل زیر مشاهده کنید . [30]

شکل 2 - 22 تبدیل موجک چندگانه دوبعدی سطح یک [12]

به این نکته توجه داشته باشید که H₂L₁ شامل ضرایب پایین گذر از تابع مقیاس اول در راستای افق و ضرایب بالاگذر متعلق به تابع موجک در راستای افقی می باشد . مرحله بعدی از تجزیه این عمل را با قسمت ماتریس انجام می دهد .

یک مثال از تجزیه با موجک چندگانه GHM در شکل 23-2 الف نشان داده شده است . در مقایسه با تبدیل موجک اسکالر که در شکل 23-2 ب نشان داده شده است چهار زیر بلاک در قسمت گوشه ی ماتریس در حوزه موجک چندگانه مشاهده می کنید در حالیکه این مقدار در موجک اسکالر یک می باشد .

شکل 2 - 23 تبدیل موجک چندگانه در مقایسه با تبدیل موجک اسکالر

5-10-2 بانک فیلتر موجک های چند گانه

همانند موجک اسکالر، می توان تبدیل موجک چندگانه را با بهره گرفتن از نمایش بانک فیلتر توصیف کرد . برای موجک های چندگانه، این عمل به چند ورودی چند خروجی بانک فیلتر ، همانطور که در شکل (24-2)نشان داده شده تفسیر می شود .

شکل 2 - 24 مراحل ترکیب و تجزیه توسط موجک چندگانه [11]

مشابهه موجک اسکالر ، تجزیه سیگنال در موجک چندگانه توسط الگوریتم مالات ^[61]صورت می پذیرد .در موجک چند گانه بانک فیلتر پایین گذر و بالا گذر به صورتی ماتریسی می باشند ، این در حالی است که در موجک اسکالر این مورد به صورت برداری می باشد .با در نظر گرفتن این مورد سیگنال باید قبل از تجزیه مورد پیش پردازش قرار گیرد تا به صورت برداری در آید .

6-2-10 موجک های چندگانه متوازن در مقابل نامتوازن

لبرون^[62] و وترلی^[63] نشان داده اند در صورتی که فیلتر های چند مرحله ای اسکالر مرتبط با یک شاخه رفتار طیفی متفاوتی داشته باشند، برای مثال، در یک نمونه پایین گذر بوده و برای نمونه ای دیگر بالا گذر باشد، منجر به ایجاد یک کانال نامتوازن می شود که فرایند برداری سازی ^[64] را پیچیده می کند . فرایند برداریسازی بایستی منجر به کانال هایی شود که ترکیب ضرایب تقریب و جزئیات ، نوسانات شدیدی در سیگنال بازسازی شده از ضرایب زیر باند پایین گذر ایجاد می کند .

موجک های چندگانه نامتوازن برای جبران این مشکل نیاز دارند تا از فیلتر کردن قبل/ بعد سیگنال ورودی / خروجی استفاده کنند.این عمل برای تطابق سیگنال با عدم تعادل طیفی بانک فیلتر به کار گرفته می شود .

در طراحی موجک های چندگانه متوازن این نکته گنجاده شده است که یک سری کلاس های خاص از سیگنال های چند جمله ای بایستی توسط فیلتر پایین گذر حفظ شده و توسط فیلتر بالا گذر حذف شود . برای مثال ، به یک موجک چندگانه ، متوازن از درجه یک می گویند اگر فیلتر پایین گذر مرحله ترکیب ، سیگنال های ثابت را حفظ کند. به یک موجک چندگانه ، متوازن از درجه P می گویند اگر فیلتر پایین گذر مرحله ترکیب ، سیگنال های چندجمله ای گسسته از نظر زمان را با درجه کمتر از P را حفظ کند. اگر ترکیبات گذرپایین سیگنال های گسسته از لحاظ زمانی با درجه کمتر P را حفظ کنند به موجک چند گانه گفته می شود که با نظم شماره P متوازن شده باشد . توازن نیاز به پیش فیلتر کردن ورودی را رفع می کند . در نتیجه، موجک های چندگانه متوازن از موجک های چندگانه نامتوازن از لحاظ محاسباتی کارآمد تر می باشند . [11]

7-2-10 نسخه های پیاده سازی موجک چندگانه در کامپیوتر

از آنجا که موجک چندگانه در تحقیقات کمتری نسبت به موجک اسکالر به کار گرفته شده است نرم افزار قدرتمند متلب ^[65]جعبه ابزاری برای موجک چندگانه معرفی نکرده است واین یک چالش بزرگ برای محقیقین این حوزه می باشد . جعبه ابزار های مختلفی توسط محقیقن پیاده سازی و توسعه داده شده است. که در اینجا دو نمونه از آنها را معرفی می کنیم . [13 ]

عنوان بسته نرم افزاری	نوشته شده توسط	آدرس دانلود
بسته موجک چندگانه برای متلب [66]	استرلا [67]	www.mcs.drexel.edu/~vstrela/MWMP
کدهای پیاده سازی شده توسط کینرت	کینرت [68]	http://www.math.iastate.edu/keinert

جدول 2- 1 بسته های نرم افزاری موجک چندگانه

11-2 نهان نگاری تصاویر دیجیتال با بهره گرفتن از موجک های چندگانه

پژوهش هایی که در حوزه نهان نگاری تصاویر دیجیتال ارائه شده اند ، نسبت به تبدیل موجک گسسته بسیار ناچیز می باشد به گونه ای که تا سال 2007 این تعداد انگشت شمار بوده است . با در نظر گرفتن این مورد مروری اجمالی خواهیم داشت به اندک مقالاتی که در حوزه نهان نگاری تصاویر دیجتال ارائه شده اند . [11]

کن^[69] و تفیک^[70] یک طرح نهان نگاری تطبیقی در حوزه تبدیل موجک چندگانه با استفاده کوانتیزاسیون متوالی زیر باند و یک مدل مدل ادراکی ارائه داده اند . کن و همکارانش در سال 2002 ایده ای که توسط کن و تفیک ارائه شده بود را گسترش دادند .[14]

کامسوات^[71] و همکارانش ، پنج سیستم نهان نگاری مختلف مبتنی بر موجک چندگانه را با استفاده نهان نگاری مبتنی بر طیف گسترده مورد بررسی قرار دادند . DGHM ، CL ، SA4 ، CD2 و BAT2 پنج سیستم مورد بررسی بودند . نتایج این تحقیق نشان داد که موجک چندگانه پایه انتخابی در کیفیت سیستم نهان نگاری تاثیر خواهد داشت . [15]

ژانگ^[72] و همکارانش یک سیستم نوین نهان نگاری تصاویر در سال 2002 ارائه دادند . در این سیستم، جاگذاری نهان نگار با بهره گرفتن از شبکه های عصبی پس انتشار استفاده شده است . به خاطر قابلیت یادگیری و تطبیقی بودن شبکه عصبی پس انتشار طرح پیشنهادی یک نهان نگار مستحکم را نتیجه می دهد . [16]

ژانگ و ژیونگ درسال 2004 مقاله ای ارائه کردند که در آن با کوانتیزاسیون میانگین ضرایب متناظر در چهار بلاک موجود در زیر باند با فرکانس پایین بیت های، نهان نگار را در تصویر میزبان جاساز کردند . سیستم پیشنهادی این دو محقق نسبت به روش مشابه موجود در حوزه تبدیل موجک اسکالر عملکرد بهتری دارد . [17]

کامسوات و همکارانش در سال 2004 به بررسی کیفیت نهان نگاری با توجه به انتخاب نوع متد انتقال پرداختند . در این پژوهش ، کیفیت نهان نگاری با بهره گرفتن از تبدیل گسسته سینوسی ، تبدیل موجک گسسته و تبدیل موجک چندگانه گسسته مورد بررسی قرار گرفت و نتیجه این تحقیق حاکی از آن است که سیستمی که از تبدیل موجک چندگانه گسسته استفاده کرده است کیفیت بالاتری نسبت به دو مورد دیگر برخوردار می باشد . اما در مقابل فشرده سازی JPEG 2000 ، به منظور تعیین استحکام سیستم پیشنهادی تبدیل گسسته سینوسی عملکرد بهتری داشته است . در برابر عملیات پردازش تصویر معمول نیز این تبدیل گستته سینوسی بود که هنوز از عملکرد بهتر ی برخوردار بود . [18]

در مقاله ای دیگر ، کامسوات و همکارانش از تکنیک های هوش مصنوعی برای بهینه سازی سیستم های نهان نگاری موجود استفاده کرده اند . در این تحقیق ، الگوریتم جاگذاری و آشکار سازی نهان نگار که توسط دوگاد و همکارانش ارائه شده بود با به کار گیری الگوریتم ژنتیک اصلاح شد . متد ارائه شده در این تحقیق بر روی هر نوع تصویری قابل اجرا می باشد . [19]

ژائو^[73] و همکارانش طرحی مبتنی بر تبدیل موجک چندگانه برای نهان نگایر تصاویر دیجیتال ارائه دادند . [20]

گوتی^[74] و همکارانش یک طرح نهان نگاری منطبق با تصویر با به کار گیری موجک چندگانه متوازن ارائه دادند تا بتوانند ظرفیت نهان نگار را با به کارگیری مدل های آماری مختلف برای تصویر میزبان افزایش دهند .[21]

سردین^[75] و همکارانش در مقاله ای در سال 2007 موجک های اسکالر را در برابر موجک های چند گانه در برابر حملات مختلف از لحاظ کارایی مورد بررسی قرا داده اند . [11]

بار دیگر کامسوات و همکارانش یک متد نهان نگاری مبتنی بر تبدیل موجک چندگانه بر اساس جاگذاری نهان نگار در درخت سه گانه موجک چندگانه به وسیله تکنیک QIM ارائه کردند . سپس توسط الگوریتم ژنتیک مقاومت و غیر قایل مشاهده بود را در این سیستم بهبود بخشیدند .[22]

شوجیا^[76] ، یک الگوریتم جدید در حوزه تبدیل موجک چندگانه متوازن و متقارن برای تصاویر رنگی RGB ارئه داد. طرح پیشنهادی از لحاظ مقاومت و شفافیت کیفیت قابل مشاهده ای از خود نشان داده است . همچنین این تکنیک باعث کاهش زمان اجرا شده است . [23]

یان لو ^[77]و همکارانش با به کارگیری موجک چندگانه SA 4 به جاگذاری نهان نگاری دیجیتال پرداختند . و از بهینه سازی چند هدفه مبتنی بر الگوریتم ژنتیک برای تنظیم پویای نهان نگار جاساز شده توسط ضرایب استفاده کرده است . [24]

مینگ یانگ ^[78]و همکارانش یک الگوریتم نهان نگاری دیجیتال مبتنی بر موجک چندگانه متوازن ارائه دادند . [26]

ژانگ^[79] و همکارانش یک الگویتم نهان نگاری کور مبتنی بر موجک چند گانه متوازن پیشنهاد داده اند .این روش نهان نگار را می تواند در هر دو ناحیه فرکانسی می تواند ذخیره کند و در نتیجه ظریفت پنهان سازی بالایی را فراهم می کند . اگرچه این روش از لحاظ غیر قابل مشاهده بودن و استحکام کیفیت قابل ملاحظه ای دارد اما در مقابل چرخش نمی تواند مقاومت کند . [26]

فصل سوم

نهان نگاری تصاویر دیجیتال با موجک های چندگانه

1-3 مقدمه

در فصل قبل به شناخت و بررسی مفاهیم نهان نگاری و متعاقبا تبدیل موجک پرداختیم . در این فصل قصد داریم تا یک الگوریتم نهان نگاری کور جهت بهبود سیستم نهان نگاری تصاویر دیجیتال ارائه دهیم .

2-3 نهان نگاری تصویر دیجیتال با موجک های چندگانه

در فصل قبل با ساختار کلی سیستم نهان نگاری در شکل های (1-2) و (2-2) آشنا شدیم . در سیستم پیشنهادی ما حالتی خاص از این سیستم را برای فرایند نهان نگاری به کار می گیریم .در شکل (3 -1) نمای کلی از درج نهان نگار در سیستم مورد استفاده و به دنبال آن در شکل (3-2 ) فرایند استخراج نهان نگار را مشاهده می کنید. در این سیستم ما از یک تصویر با اندازه 512 * 512 خاکستری به عنوان رسانه پوششی استفاده کرده ایم . نهان نگار مورد استفاده یک تصویر باینری با اندازه 64 * 64 می باشد .

شکل 3- 1 فرایند درج نهان نگار در سیستم مورد استفاده

شکل 3- 2 فرایند استخراج نهان نگار

3-3 تبدیل موجک چندگانه تصویر

در قسمت اعمال تبدیل موجک چندگانه به تصویر میزبان از موجک چند گانه GHM با یک سطح تجزیه استفاده کرده ایم. نتیجه حاصل از تجزیه تصویر خاکستری باربارا^[80] با اندازه 512 * 512 در شکل (3-3 ) قابل مشاهده می باشد .

شکل 3- 3 تصویر تبدیل یافته باربارا با تبدیل موجک چندگانه GHM

GHM ، یکی از مشهورترین سیستم های موجک چندگانه می باشد که توسط گرونیمو ، هاردین و مسوپوست ساخته شده است که به GHM مشهور است.سیستم ایجاد شده توسط آنان دارای دو تایع مقیاس و دو تابع موجک می باشد .

سیستم به کار گرفته شده ، تصویر باربارا را همانطور که در تصویر (3-3) مشاهده می کنید به 16 باند فرکانسی تقسیم کرده است که با جزئیات آن در فصل قبل آشنا شدیم .

در بخش بعدی به دنبال این هستیم تا مکان مناسبی برای درج نهان نگار از بین این 16 زیر باند انتخاب کنیم .

4-3 انتخاب مکان مناسب برای درج نهان نگار

ﺑﺨﺎﻃﺮ ویژگی ﻣﺤﻠﯽ ﮐﺮدن ﻋﺎﻟﯽ تصویر ، تبدیل موجک چندگانه ﺑﺮاي تعیین ﻧﻮاﺣﯽ از تصویر ﮐﻪ نهان ﻧﮕﺎر ﺑﻄﻮر ﻣﻮﺛﺮﺗﺮي ﻗﺎﺑﻞ درج ﺑﺎﺷﺪ بسیار ﺧﻮب ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻄﻮر ﺧﺎص این ویژگی اﺟﺎزه ﺑﻬﺮه ﺑﺮداري از اﺛﺮ ﻣﺎﺳﮏ سیستم بینایی اﻧﺴﺎن را ﻣﯽ دﻫﺪ، بطوریکه اﮔﺮ ضرایب تبدیل موجک چندگانه تغییر یابند ، ﻓﻘﻂ ﻧﻮاﺣﯽ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ آن تصویر تغییر ﺧﻮاﻫﺪ یافت. ﻋﻤﻮﻣﺎً بیشتر اﻧﺮژي تصویر در زیر ﺑﺎﻧﺪ هایی ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ پایین LL ﻣﺘﻤﺮﮐﺰ ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ، بنابراین درج ﭘﻨﻬﺎن ﻧﮕﺎر در این زیر ﺑﺎﻧﺪ ﻫﺎ ﻣﻤﮑﻦ اﺳﺖ کیفیت تصویر را ﺗﺎ ﺣﺪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻬﯽ ﮐﺎﻫﺶ دﻫﺪ. ﺑﻬﺮ ﺣﺎل درج ﭘﻨﻬﺎن ﻧﮕﺎر در زیر باندهایی ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ پایین مقاومت را ﺑﻄﻮر ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪ اي افزایش ﺧﻮاﻫﺪ داد. ﻣﺼﺎﻟﺤﻪ اي ﮐﻪ بسیاری از روش ﻫﺎي ﻣﺒﺘﻨﯽ ﺑﺮاین تبدیل ﺑﮑﺎر ﻣﯽ ﺑﺮﻧﺪ درج نهان ﻧﮕﺎر در زیر باندهایی ﺑﺎ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ میانی ﻣﯽ ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﻫﻢ از ﻟﺤﺎظ غیر ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺑﻮدن و ﻫﻢ از ﻟﺤﺎظ اﺳﺘﺤﮑﺎم نتیجه ﺧﻮﺑﯽ در ﺑﺮ دارد. بدین منظور ما زیر باند را از بین زیر باندهای برای درج نهان نگار انتخاب میکنیم ، تا بین استحکام و غیر قابل مشاهده بودن نهان نگار در تصویر نهان نگاری شده توازن برقرار گردد . شکل (3-5 ) مکان مورد نظر ما برای درج نهان نگار را بر روی تصویر باربارا نمایش می دهد .

شکل 3- 4 مکان مورد نظر برای درج نهان نگار

5-3 الگوریتم جاگذاری نهان نگار

برای درج نهان نگار در ضرایب فرکانسی بدست آمده از تبدیل موجک چندگانه به شکل زیر عمل می کنیم.

1. ابتدا با بهره گرفتن از تبدیل موجک چندگانه GHM با یک سطح تجزیه ، تصویر اصلی را به باندهای فرکانسی آن تجزیه می کنیم .
2. از میان 16 زیر باند فرکانسی حاصل ، زیر باند را برای درج نهان نگار انتخاب می کنیم
3. مولفه های فرکانسی زیر باند مورد نظر را به به بلوک های 2*2 تقسیم می کنیم.
4. دو مولفه فرکانسی از بلوک 2*2 انتخاب می کنیم ، در الگوریتم پیاده سازی شده مولفه های قطر اصلی بلوک مورد نظر را انتخاب کرده ایم ، و سپس توسط الگوریتم زیر مورد مقایسه قرا می دهیم.

1. بعد از درج نهان نگار ، با بهره گرفتن از معکوس تبدیل موجک چندگانه GHM تصویر نهان نگاری شده حاصل می شود .

6-3 الگوریتم آشکار سازی نهان نگار

برای استخراج نهان نگار در سیستم پیشنهادی مراحل زیر را طی می کنیم .

1. ابتدا با بهره گرفتن از تبدیل موجک چندگانه GHM با یک سطح تجزیه، تصویر نهان نگاری شده را به باندهای فرکانسی آن تجزیه می کنیم .
2. از میان 16 زیر باند فرکانسی حاصل ، زیر باند را انتخاب می کنیم
3. مولفه های فرکانسی زیر باند مورد نظر را به به بلوک های 2*2 تقسیم می کنیم .
4. دو مولفه فرکانسی از بلوک 2*2 انتخاب می کنیم ، همان اندیس هایی که در مر حله درج نهان نگار انتخاب کردیم ، و سپس توسط الگوریتم زیر مورد مقایسه قرا می دهیم .

7-3 نتایج

نتایج حاصل از به کار گیری سیستم نهان نگاری پیشنهادی در شکل های (3-9 ) و (3-10 ) نمایش داده شده است .

 

شکل 3- 5 مقایسه تصویر اصلی با تصویر نهان نگاری شده

شکل 3- 6 مقایسه نهان نگار استخراج شده با نهان نگار اصلی

فصل چهارم

ارزیابی الگوریتم نهان نگار پیشنهادی

1-4 مقدمه

در این فصل برآنیم تا سیستم نهان نگاری پیشنهادی در فصل قبل را مورد ارزیابی قرار داده و نتایج حاصل را با سیستم های پیشنهادی موجود مورد مقایسه قرار می دهیم .

2-4 کیفیت تصویر نهان نگاری شده

نرخ حداکثر سیگنال به نویز^[81] به عنوان معیاری برای ارزیابی کارایی کیفیت تصویر نهان نگاری شده مورد استفاده قرار گرفته شده است .PSNR در واحد دسیبل به صورت زیر قابل محاسبه است . [2]

که در آن H تصویر پوشاننده و H’ تصویر پنهان نگاری شده می باشد .

اگر PSNR به سمت بی نهایت برود تصویر نهان نگاری شده دقیقا برابر تصویر اصلی می باشد . بنابراین مقادیر بالاتر برای PSNR بیانگر کیفیت بالاتر تصویر نهان نگاری شده می باشد .

نتایج حاصل از به کار گیری الگوریتم پیشنهادی بر روی یک تصویر خاکستری 512*512 به عنوان تصویر میزبان و یک تصویر باینری 64*64 به عنوان نهان نگار به صورت زیر می باشد .

مقدار PSNR	مقدار MSE	نام تصویر
0.398	2.7221	باربارا
0.401	2.4961	لنا [82]

جدول 4- 1 بررسی کیفیت تصویر

نتایج حاکی از کیفیت بالای تصویر نهان نگاری شده می باشد .

3-4 استحکام نهان نگار

برآورد کمی برای برآورد محاسبه کیفیت نهان نگار استخراج شده W’(I,j) با ارجاع به نهان نگار اصلی W(i,j) می تواند به کمک همبستگی متقابل نرمال ^[83](NC ) بیان شود . NC به صورت زیر قابل محاسبه می باشد. [28]

نتایج حاصل از به کارگیری همبستگی متقابل نرمال به عنوان معیاری برای ارزیابی نهان نگار استخراج شده را می توانید در جدول زیر مشاهده کنید .

تصویر میزبان	نهان نگار	مقدار NC (بدون حمله)
باربارا		0/398
لنا		0/401

جدول 4- 2 بررسی مقاومت نهان نگار

4-4 بررسی استحکام تصویر در برابر حملات رایج

در این قسمت قصد داریم تا میزان مقاومت نهان نگار را در برخی برابر عملیات رایج پردازش تصویر مورد بررسی قرار دهیم . نتایج در جدول نمایش داده شده است . عملیات بر روی تصویر باربارا انجام گرفته شده است .

نوع حمله	مقدار NC
بدون حمله	0/95
حمله JPEG (کیفیت = 60)	0/9435
حمله JPEG (کیفیت = 70)	0/9459
نویز گاوسی (واریانس = 0/005)	0/9355
نویز گاوسی (واریانس = 0/001)	0/9355
نویز فلفل نمکی (شدت = 0.02)	0/9339
نویز فلفل نمکی (شدت = 0.01)	0/9367

جدول 4- 3 بررسی مقاومت نهان نگار در برابر حملات

سیستم پیشنهادی دارای ضعف عمده در مقابل چرخش یک درجه بوده ، به گونه ای که قادر به کشف نهان نگار نمی باشد .

5-4 مقایسه سیستم نهان نگاری پیشنهادی با روش ها قبل

نتایج حاصل از سیستم پیشنهادی را با دو مقاله یکی در حوزه موجک های چندگانه و دیگری در حوزه موجک اسکالر مورد مقایسه قرار دادیم .

نوع حمله	مقاله [28]	مقاله [27]	سیستم پیشنهادی ما
بدون حمله	1	1	0/95
حمله JPEG (کیفیت = 60)	0/7436	0/6603	0/9435
حمله JPEG (کیفیت = 70)	0/9362	0/9018	0/9459
نویز گاوسی (واریانس = 0/005)	0/8675	0/8509	0/9355
نویز گاوسی (واریانس = 0/001)	0/9726	0/9539	0/9355
نویز فلفل نمکی (شدت = 0.02)	0/8436	0/8658	0/9339
نویز فلفل نمکی (شدت = 0.01)	0/9135	0/9244	0/9367

جدول 4- 4 مقایسه الگوریتم پیشنهادی با کارهای پیشین

6-4 نتیجه گیری

الگوریتم پیشنهادی مقاومت بسیار خوبی در برابر عملیات اعمال نویز و حملات JPEG از خود نشان داده است ، و از نظر مقایسه ای عملکردی برابر و در بعضی موارد بهتر از الگوریتم های مورد مقایسه دارد .

 

فصل پنجم

نتیجه گیری و پیشنهادات

1-5 خلاصه تحقیق

رشد بسیار زیاد شبکه های کامپیوتری که انتقال سریع و بدون خطا در هر گونه کپی برداری را فراهم می کند و احتمالا دستکاری غیر مجاز اطلاعات چند رسانه ای افزایش می دهد، خطر نقض قانون کپی رایت داده های چند رسانه ای بطور جدی احساس می گردد.

نهان نگاری یکی از تکنیک های گوناگونی می باشد که برای حفاظت از محتوای رسانه دیجیتال وجود دارند . نهان نگاری فرایند جاگذاری اطلاعات درون یک رسانه دیجیتال به منظور احراز مالکیت و پیگیری کپی رایت می باشد .

تحقیقات نشان داده است ، به کار گیری تبدیل موجک گسسته در نهان نگاری تصاویر دیجیتال نسبت به روش های ، نتایج بهتری از لحاظ کیفیت ارائه کرده است . اما محدودیت هایی در طراحی موجک های گسسته وجود دارد که نمی توان همزمان به برخی از ویژگی های یک تبدیل خوب در پردازش تصویر همچون ، تعامد ، تقارن دست یافت . برای رفع این محدودیت موجک های چندگانه معرفی شدند .

در فصل اول به ادبیات موضوع در حوزه نهان نگاری تصاویر دیجیتال با بهره گرفتن از موجک های چندگانه پرداختیم در فصل دوم مفاهیم موجود در این حوزه را تشریح کرده و سپس کارهای انجام شده در این حوزه را معرفی کردیم . در فصل سوم الگوریتمی برای نهان نگاری تصاویر دیجیتال ارائه با بهره گرفتن از تبدیل موجک چندگانه گسسته GHM در سطح اول ارائه دادیم و نتایج حاصل از آن را از نظر کیفیت تصویر نهان نگاری شده و استحکام نهان نگار استخراج شده با کارهای قبلی موجود در حوزه پژوهش مورد بررسی قرار دادیم .

مطالعه این تحقیق می تواند نتایج زیر را برای خوانندگان محترم به همراه داشته باشد .

• آشنایی با مفاهیم و تعاریف نهان نگاری
• آشنایی با مفاهیم تبدیل فوریه ، تبدیل فوریه زمان کوتاه ، تبدیل موجک و تبدیل موجک چندگانه
• آشنایی با روش های نهان نگاری ارائه شده در حوزه تبدیل موجک چندگانه

2-5 پیشنهاداتی برای تحقیقات آینده

با توجه به مطالب ارائه شده می توان موارد مختلف و متنوعی را برای بررسی و مطالعه بیشتر پیشنهاد نمود . حوزه نهان نگاری تصاویر دیجیتال با بهره گرفتن از موج های چندگانه ، دارای زمینه های مناسبی برای تحقیق و پؤوهش می باشد . امید است تا دانشجویان و پژوهشگران عزیز کشورمان به کاربرد و اهمیت آن توجه ویژه داشته باشند . در ادامه موضوعها یا حوزه هایی که می توانند در آینده به عنوان تحقیقات مرتبط به انجام برسند اراده شده اند .

• به کار گیری نهان نگار ی با بهره گرفتن از موجک های چندگانه در حوزه فیلم و صوت
• بسط الگوریتم ذکر شده در پایان نامه به تصاویر رنگی
• ارائه الگوریتمی برای استخراج نهان نگار مقاوم در برابر چرخش

منابع و مآخذ

[1] محمد رضا سهیلی ، نهان نگاری الگوهای تکرار شونده با بهره گرفتن از تبدیل موجک ، کنفرانس بین المللی فناوری اطلاعات و دانش

[2] هادی پور نادر و همکاران ، روشی جدید برای پنهان نگاری تصاویر رقمی با بهره گرفتن از تبدیل موجک ، دانشگاه پیام نور واحد تهران

[3] گلی مصطفی ، بهبود الگوریتم های نهان نگاری در تصاویر دیجیتال با بهره گرفتن از تجزیه مقدار منفرد . پایان نامه کارشناسی ارشد دانشگاه آزاد اسلامی ، تابستان 1392.

[4] صیادی امید ،آشنایی مقدماتی با تبدیل موجک .آزمایشگاه پردازش سیگنال های حیاتی و تصاویر پزشکی ، دانشگاه صنعتی شریف ، زمستان 1387.

[5] رجایی بشرا و پور رضا حمیدرضا ، تبدیل موجک ، آزمایشگاه بینایی ماشین ، دانشگاه فردوسی مشهد ، پاییز 88

[6] محمد حسن بیژن زاده و همکاران ، جبر خطی ، دانشگاه پیام نور ، 1389

[7 ] Othman O Khalifa and Yusnita binti Yusof ,An Improved Wavelet Digital Watermarking Software Implementation , 2012

[8] A.Kumar et al ,Wavelet Based Image Watermarking: Futuristic Concepts in Information Security , 2014

[9] R.Polikar , The Wavelet Tutorial Second Edition

[10] M.Misiti et al, wavelet ToolBox , MathWork , 2001

[11] M.K. Serdean et al , Wavelet and multiwavelet watermarking, The Institution of Engineering and Technology, 2007

[12] Jun zhang et al ,A novel watermarking for images using neural networks ,First international on Machine Learning and Cybernetics , Beiging , 2002

[13] F.Keinert , wavelet and multiwavelet , CRC Press , 2004

[14] K.R.Kwon et al , Content Adaptive Watermark Embedding in the Multiwavelet Transform Using a Stochastic ,2004

[15]P. Kumsawat et al , Multiwavelet Evaluation in Image Watermarking , IEEE , 2004

[16] J.Zhang et al , Hiding a Logo Watermark into the Multiwavelet Domain Using Neural Networks, International Conference on Tools with Artificial Intelligence , 2002

[17] Zhang and Xiong , A Novel Watermarking for Image Security , ISCIS ,2004

[18] P.Kumsawat et al , THE EFFECTS OF TRANSFORMATION METHODS IN IMAGE WATERMARKING , IEEE , 2004

[19] P.Kumsawat et al , Multiwavelet based image watermarking using genethic algorithm ,IEEE , 2004

[20] J. Zhao et al , DIGITAL WATEFWARKING BY USING A FEATURE-BASED MUTLIWAVELET FUSION APPROACH , CCECE , 2004

[21]L. Ghouti et al. , Digital Image Watermarking Using Balanced Multiwavelets , IEEE TRANSACTIONS ON SIGNAL PROCESSING,2006

[22] P.KUMSAWAT et al , Robust Image Watermarking Based on Genetic Algorithm In Multiwavelet Domain , AIKED 09 , 2008

[23] Sh.Liao,Dual Color Images Watermarking Algorithm Based on Symmetric Balanced Multiwavelet, IEEE ,2008

[24] J.Luo , Digital Watermarking Multi-objective Optimization Based on Multi-wavelet , International Conference on Control and Automation Christchurch , New Zealand , 2009

[25] Ming - Yang Zang et al , An Adaptive Digital Watermarking Algorithm Based on Balanced Multiwavelet , Fifth International Conference on Information Assurance and Security ,2009

[26] N.Zhang et al , Balanced Multiwavelets Based Digital Image Watermarking , IWDW , 2009

[27] LIU Hong-wei, XIE Wei-xin, YU Jian-ping. Adaptive Watermarking Algorithm Based on Human Visual System [J]. JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY,2008

[28] MingXiang Zang et al, Research on Digital Watermark of Combination of Wavelet and Balanced Multiwavelet Transform , IEEE ,2011

Abstract

With the extensive growth of the Internet and the developments in digital communication and compression technology, digital multimedia contents, such as music, video and image, can be distributed instantaneously across the Internet to end-users. digital data has been shown to have many advantages over analog data, one of the potential problems on handling the digital data is that it can be easily altered and duplicated without losing its quality. Thus, without protection and management of digital rights, digital content can be copied and distributed to a large number of recipients, which could cause revenue loss to media companies.

Digital watermarking is an emerging technology that embeds hidden copyright information directly into the digital multimedia content in such a way that it always remains present. The embedded information data is referred to as watermark. Ideally, there should be no perceptible difference between the watermarked and original data, and the watermark should be easily extractable, reliable and robust against decryption, re-encryption, compression and common signal processing.

By The Importance of watermarking This dissertation concentrates on designing watermarking algorithms using multiwavelet transform because it possesses properties which have been shown to be useful in image processing applications. Therefore , multiwavelet-based watermarking for copyright protection of digital image will be mainly discussed . Finally , we evaluate the proposed algorithm by common criteria.

Keywords : Digital image watermarking , wavelet , wavelet transform , discrete wavelet transform , multiwavelet transform

Mazandaran University Of Science and Technology

Faculty Of Engineering

Department of Coputer and Information Technology

Thesis Title :

Digital Image Watermarking By Multiwavelet Transform

Advisor :

Dr. Javad Vahidi

Counselor :

Dr. Babak Shirazi

Researcher :

Mehran Ahmadi Khatir

A theisis submitted to the Gradute Studies Office

in Partial Fullfillment of the requirement for the degree of M.Sc.in

Information Texhnology Engineering

Summer 2014

1. Watermarking ↑
2. Wavelet Transform ↑
3. Discrete Wavelet Transform ↑
4. Multiwavelet Transfrom ↑
5. Digital Watermarking ↑
6. CopyRight ↑
7. Stegnography ↑
8. Watermark ↑
9. Embedding ↑
10. Roboustness ↑
11. Cover Object ↑
12. Security Key ↑
13. Blind ↑
14. Public Watermarking ↑
15. Non-Blind ↑
16. Private Watermarking ↑
17. Semi – Blind ↑
18. Transform Domain ↑
19. Spatial Domain ↑
20. LSB ↑
21. Spread Spectrum ↑
22. Patchwork ↑
23. Discrete Cosine Transform ↑
24. Fast Fourier Transform (FFT) ↑
25. Discrete Wavelets Transform (DWT) ↑
26. Fast Hadamard Transform (FHT) ↑
27. Singular Value Decomposition ↑
28. Frequency Spectrum ↑
29. Multi-Resolution Analysis ↑
30. Fourier Transform (FT) ↑
31. Fast Fourier Transform (FFT) ↑
32. Non-Stationary ↑
33. Short Time Fourier Transform (STFT) ↑
34. Multi-Resolution Analysis ↑
35. Heisenberg ↑
36. ElectroCardioGraphy ↑
37. Continuous Wavelet Transform ↑
38. Mother Wavelet ↑
39. Scale ↑
40. Translation ↑
41. Correlation ↑
42. orthogonal ↑
43. Biorthognal ↑
44. Admissibility Constant ↑
45. Admissibility Condition ↑
46. Nyquist ↑
47. Dyadic ↑
48. Discrete Wavelet Transform ↑
49. Subband Codin ↑
50. Downsampling ↑
51. Upsampling ↑
52. Approximation Coefficient ↑
53. Details Coefficient ↑
54. Inverse Discrete Wavelet Transform (IDWT) ↑
55. Decomposition ↑
56. Reconstuction ↑
57. Synthesis ↑
58. Relaxing ↑
59. Compact Support ↑
60. Approximation Order ↑
61. Mallat ↑
62. Lebrun ↑
63. Vetterli ↑
64. Vectorisation ↑
65. Matlab ↑
66. MWMP (the Multiwavelet Matlab Package) ↑
67. Vasily Strela ↑
68. FRITZ KEINERT ↑
69. Kwon ↑
70. Tewfik ↑
71. Kumsawat ↑
72. Zhang ↑
73. Jiying Zhao ↑
74. Lahouari Ghouti ↑
75. Serdean ↑
76. Shujiao Liao ↑
77. Jian Luo ↑
78. Ming - Yang Zang ↑
79. Na Zhang ↑
80. Barbara ↑
81. Peak Signal to Noise Rate ↑
82. Lenna ↑
83. Normalized Corelation ↑