چون برای هر داریم ، و همچنین با توجه به ریخت همانی

داریم:
همچنین برای و داریم:
به طوری‌که
بنابراین یک تابعگون همورد می‌باشد.■
تعریف ۲-۳۰٫ زیررسته
فرض کنیمو رسته باشند. یک زیررسته از است اگر
۱-هر شیءیک شیء از باشد، یعنی.
۲- برای هر داریم.
۳- ترکیب ریخت‌ها در همانند ترکیب ریخت‌ها در باشد.
۴- برای هر همانی در ، همان همانی در می‌باشد.
تعریف ۲-۳۱٫ زیررسته‌ی کامل
اگر برای هر، زیر رسته‌ی ? از ?، یک زیر رسته‌ی کامل نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۳۲٫ زیر رسته ی عریض
اگر، زیر رسته‌ی از، یک زیر رسته‌ی عریض نامیده می شود.
مثال ۲-۳۳٫ برای هر رسته‌ی می‌توانیم یک زیر رسته‌ی کامل از بدست آوریم، به این ترتیب کهرا می‌توانیم هر کلاس از اشیاء قرار دهیم و برای هر ، تعریف کنیم.
تعریف ۲-۳۴٫ زیرگروه‌وار از دیدگاه رسته
فرض کنیدیک گروه‌وار باشد. یک زیرگروه‌وار از یک زیررسته‌ی از است به طوری‌که اگر، آن‌گاه ، یعنی یک زیررسته است به طوری‌که یک گروه‌وار نیز باشد.
نکته ۲-۳۵٫ تعریف ۲-۳۵، با تعریف ۲-۲۰، از زیر گروه‌وار معادل است.
برهان. به‌سادگی دیده می‌شود که شرایط در هر دو یکسان تعریف شده است.
تعریف ۲-۳۷٫ زیرگروه‌وار کامل
اگر یک زیررسته‌ی کامل از باشد، آن‌گاه یک زیرگروه‌وار کامل از است.
تعریف ۲-۳۸٫ زیرگروه‌وار عریض
اگر یک زیررسته‌ی عریض از باشد، آن‌گاه یک زیرگروه‌وار عریض از است.
نکته ۲-۳۹٫ یک گروه‌وار با تنها یک شیء، یک گروه نامیده می‌شود. مانند که یک گروه شی‌ای نامیده می‌شود.
تعریف ۲-۴۰٫ گروه‌وار توپولوژیکی
یک گروه‌وار توپولوژیکی، یک گروه‌وار است به طوری‌که مجموعه‌های و فضاهای توپولوژیکی باشند ونگاشت‌های منبع، هدف، شیء، معکوس و ترکیب پیوسته باشند.
تعریف ۲-۴۱٫ ریخت بین گروه‌وارهای توپولوژیکی
فرض کنید و دو گروه‌وار توپولوژیکی باشند. یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک جفت از نگاشت‌های و است به طوری‌که و پیوسته باشند.
تعریف ۲-۴۲٫ فرض کنیم ، اگر یکریخت پوششی باشد، آن‌گاه یک تابع بالابرنده‌ی داریم که به جفت در عنصر یکتای از را نشان می‌دهد به طوری‌که .
از طرفی وارونمی‌باشد.
گزاره ۲-۴۳٫ تعریف بالا بیانگر این است که یک ریخت پوششی است اگروفقط اگر دوسویی باشد.
برهان.یک ریخت پوششی است، پس دوسویی می‌باشد یعنی برای هر ، داریم و عنصری در می‌باشد. بنابراینو این معادل است با تعریف نگاشت ، به این‌صورت که هر را بهو ببریم و چون یک ریخت است، داریم:
بنابراین ، پس نگاشت خوش‌تعریف می‌باشد.■
تعریف ۲-۴۴٫ ریخت پوششی توپولوژیکی
یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی، یک ریخت پوششی توپولوژیکی نامیده می‌شود اگر و فقط اگرهمئومورفیسم باشد.
مثال ۲-۴۵٫ اگر و دو گروه‌وار توپولوژیکی باشند، نشان می‌دهیم نیز یک گروه‌وار توپولوژیکی است.
در مثال ۲-۹، نشان دادیم که یک گروه‌وار است. از طرفی چون و گروه‌وارهای توپولوژیکی هستند، پس نگاشت‌های منبع، هدف، شیء، معکوس و ترکیب در هر دو پیوسته می‌باشند. بنابراین طبق تعریف، نگاشت‌های گروه‌واری نیز پیوسته می‌باشند.
اکنون با قرار دادن توپولوژی حاصل‌ضربی دو گروه‌وار توپولوژیکیو ، روی گروه‌وار ، به یک گروه‌وار توپولوژیکی تبدیل می شود.
گزاره ۲-۴۶٫ فرض کنید نمودار جابه‌جایی زیر یک نمودار از ریخت‌های گروه‌وارهای توپولوژیکی باشد به طوری‌که یک ریخت پوششی توپولوژیکی است.یک ریخت پوششی توپولوژیکی است اگر و فقط اگر یک ریخت پوششی توپولوژیکی باشد.
نمودار۳٫
برهان. فرض کنیدوریخت‌های پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها باشند. براساس نمودار زیر، برای هر ، را به‌صورت تعریف می‌کنیم.
نمودار۴.
چون و همئومورفیسم هستند و ترکیب دو نگاشت همئومورفیسم، همئومورفیسم می‌باشد، پس نیز همئومورفیسم است. بنابراین یک ریخت پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها می‌باشد.
بالعکس فرض کنید و دو ریخت پوششی توپولوژیکی باشند. طبق حالت قبل داریم . چون همئومورفیسم است، پس نیز همئومورفیسم می‌باشد. بنابراین برای هر ، را به‌صورت تعریف می‌کنیم. چون
و همئومورفیسم هستند، نیز همئومورفیسم می‌باشد. بنابراین یک ریخت پوششی توپولوژیکی از گروه‌وارها می‌باشد.■