• فرمول‏بندی کنترل مدل پیش‏بین تعمیم‏یافته صنعتی چندمتغیره

پیاده‏سازی روش IGPC مبتنی بر این اصل است که اکثر فرآیندهای صنعتی هر چند با درجه بالا را می‏توان با یک فرایند درجه اول با تاخیر مدل کرد.
یک فرایند صنعتی چند متغیره را می‏توان به صورت زیر مدل کرد:
نمایش تابع تبدیل معروف‏ترین مدل نمایش برای فرآیندهای چند متغیره است، به این دلیل که ماتریس­های توابع تبدیل می­توانند به آسانی از روش تحلیل فرکانسی یا اعمال ضربه و پله به سیستم همانند روش Reaction Curve محاسبه شوند. برای بسیاری فرآیندهای صنعتی، هر ستون از ماتریس تابع تبدیل تبدیل سیستم می ­تواند با اعمال پله متناظر با ورودی و اندازه گیری بهره استاتیک، ثابت زمانی و زمان تأخیر برای هر یک از خروجی‏ها محاسبه شود. اگر این فرایند برای تمام ورودی­ ها تکرار شود، ماتریس تابع تبدیل به دست خواهد آمد.

ماتریس تابع تبدیل ورودی-خروجی مدل CARIMA چند متغیره می ­تواند توسط ماتریس گویای زیر با ابعاد تعریف شود:
(۵-۱)
با توجه به ماتریس گویای فوق ()، مسئله شامل یافتن دو ماتریس چند جمله­ای و است تا رابطه )۵-۱( برقرار شود. ساده­ترین راه برای انجام این کار تبدیل ماتریس به یک ماتریس قطری با عناصر برابر با کوچکترین مضرب مشترک مخرج توابع تبدیل های متناظر با هر سطر ماتریس است. سپس ماتریس برابر خواهد بود با . به این نوع توصیف مدل Left Matrix Fraction گفته می­ شود.
این نوع توصیف را برای ماتریس تابع تبدیل فوق محاسبه می­کنیم، داریم
.
برای سادگی در محاسبات فرض می کنیم فرایند مورد نظر یک فرایند دو ورودی دو خروجی باشد، برای فرایند های با ابعاد بالاتر این روابط به سادگی قابل تعمیم می­باشند.
برای یک فرایند دو ورودی دو خروجی ماتریس تابع تبدیل به صورت زیر می‏باشد:
(۵-۲)
توصیف Left Matrix Fraction برای ماتریس تابع تبدیل فوق به صورت زیر است:
که در آن ماتریس­های قطری می­باشند. از مدل CARIMA برای توصیف سیستم فوق استفاده می­کنیم
(۵-۳)
که نویز سفید فرایند با میانگین صفر می­باشد و زمان مرده فرایند در ماتریس منعکس می­ شود.
ساختار زمان مرده سیستم­های چند متغیره توسط ماتریسی با عنوان ماتریس Interactor مشخص می­ شود که ساختار تاخیر را برای سیستم­های چند متغیره نمایش می­دهد [۵۳]. این ماتریس همواره وجود دارد اگر ماتریس تابع تبدیل سیستمT(z) مناسب اکید باشد و برای تمام مقادیر z دترمینان ماتریس تابع تبدیل مخالف صفر باشد. ماتریس Interactor به صورت ماتریس چندجمله­ای به صورت زیر تعریف می­ شود:
که k یک عدد صحیح و K یک ماتریس غیر منفرد^[۴۲] است. این ماتریس می ­تواند دارای فرم باشد که در آن D(z) دارای فرم قطری و یک ماتریس پایین مثلثی است که عناصر روی قطر اصلی آن برابر واحد و عناصر زیر قطر صفر یا قابل تقسیم بر z هستند. Interactor ماتریس می ­تواند برای طراحی پیش­جبران­کننده با در نظر گرفتن سیگنال کنترل به صورت ، استفاده شود [۵۴]. سپس بردار خروجی می ­تواند به صورت زیر نوشته شود:
بنابراین این سیستم می ­تواند به صورت یک فرایند با یک زمان مرده d تعریف شود. توجه داشته باشید که پیش­جبران­کننده­ها شامل اضافه کردن زمان مرده به فرایند است. روش کنترل مدل پیش‏بین همانطور که در [۵۵] اشاره شده است نیازی به استفاده از این نوع جبران­کننده­ها ندارد بنابراین اثرات ناخواسته ناشی از اضافه کردن زمان مرده به ورودی­ ها و خروجی­ها در این روش دیده نمی‏شود.در این مقاله نشان داده می­ شود که برای حل مسئله بهینه­سازی در روش کنترل مدل پیش‏بین تعمیم‏یافته، اگر شرایطی برای انتخاب افق­های کنترل و پیش‏بینی در کنترل مدل پیش‏بین در نظر گرفته شود تنها اطلاعات اولیه­ای از ماتریس Interactor برای کنترل چندمتغیره مورد نیاز خواهد بود.
در اکثر فرآیندها ماتریس Interactor دارای فرم قطری می‏باشد. در این قسمت دو حالت مختلف توصیف می­ شود، در حالت اول برای همه خروجی­های فرایند یک تک تاخیر و در حالت دوم برای هر یک از خروجی­های فرایند تاخیر جداگانه در نظر گرفته می­ شود (). این دو حالت را در زیر به صورت کامل شرح می دهیم.

• فرض کنید زمان مرده کمینه و بیشینه برای فرایند فوق به صورت زیر تعریف شود:

.
در این حالت فرض می­کنیم اختلاف زیادی بین و وجود نداشته باشد در این صورت برای همه خروجی­های فرایند زمان مرده را در نظر می­گیریم. خروجی فرایند با تحریک تا زمان تحت تاثیر قرار نخواهد گرفت و خروجی­های قبل از این زمان را پاسخ آزاد فرایند می­نامیم. حد پایین افق کنترل، می تواند برابر با تعریف شود. قابل ذکر است که دلیلی برای در نظر گرفتن کوچکتر از این مقدار وجود ندارد و بزرگتر در نظر گرفتن آن از این مقدار موجب می‏شود که خروجی های پیش‏بینی شده در زمان‏های اولیه، که از اهمیت بالایی برخوردار هستند در تابع هدف در نظر گرفته نشوند. اگر اختلاف زیادی بین دینامیک متغیرهای فرایند وجود نداشته باشد حد بالای افق کنترل می‏تواند به صورت بیان شود.
بنابراین با در نظر گرفتن
(۵-۴)
و ضرب طرفین (۵-۳) در و جایگذاری ماتریس­های و داریم
(۵-۵)
اگر مقادیر ، و معلوم باشند بهترین مقدار خروجی پیش‏بینی شده فرایند، به صورت زیر بیان می شود:
(۵-۶)
تابع هزینه را به صورت زیر تعریف می‏کنیم:
(۵-۷)
که در آن و می‏باشد، که N افق کنترل می­باشد. این تابع هدف تابعی از ، ، ، ، ، …، ، ، و مرجع ورودی خواهد بود. کمینه کردن این تایع هدف به ازای سیگنال‏های کنترل ، ، … و رابطه زیر را نتیجه خواهد داد:
(۵-۸)
که در آن
(۵-۹)
(۵-۱۰)
(۵-۱۱)
M و R ماتریس­هایی با ابعاد ، Y ماتریسی و و ماتریس­هایی با ابعاد هستند. اگر دو سطر اول ماتریس را l بنامیم در این صورت داریم:
(۵-۱۲)
اگر مقادیر آینده سیگنال مرجع نامعلوم باشند، مقادیر آن را برابر با سیگنال مرجع در لحظه t می‏گیریم، در این صورت داریم