در فصل اول اختیار معاملات توأم با مانع نیز تعریف شد، حال بازده سرمایه گذاری در این نوع اختیار معاملات به زیر است:
اگر زمان سررسید قرارداد باشد، فرایندهای ماکزیمم و مینیمم را به صورت زیر تعریف می‌شود:
بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:
رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی بنیادین به سطح مشخص رسید، اختیار معامله بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و در غیر این صورت اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح مشخص نرسد، اختیار معامله دارای ارزش است و می‌توان آن را اعمال کرد. در واقع همان اختیار خرید اروپایی رسمی است. به همین ترتیب بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:
بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:
این رابطه، نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح معین برسد، اختیار معامله دارای ارزش می‌شود و می‌توان آن را اعمال کرد، در غیر این صورت اختیار معامله بی ارزش است. به همین صورت بازده‌ی حاصل از
اختیار فروش به صورت زیر است:
بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:
این رابطه نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، با ارزش می‌شود. در غیر این صورت نمی‌توان آن را اعمال کرد. به همین منوال بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:
بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:
رابطه‌ی بالا نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر می‌شود:
می‌توان بازده‌ی اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف را نیز به دست آورد. که در واقع جمع دو نوع از اختیار معاملات توأم با مانع منفرد است، که در بالا بازده‌ی آن ها را تعریف شده است.
برای مثال بازده‌ی دو نوع مشهور از اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف به صورت زیر است: الف) بازده‌ی حاصل از جمع اختیارخرید بامانع و اختیارخرید با مانع به صورت زیر تعریف می‌شود:

اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.
ب) بازده‌ی حاصل از جمع اختیار خرید بامانع و اختیار خرید با مانع به صورت زیر است:
اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله، همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.
۳-۱-۱ قضیه (رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید^[۴۸]): فرض کنیم ارزش یک اختیار خرید اروپایی و ارزش یک اختیار فروش اروپایی باشند. دو سبد سرمایه‌‌ی زیر را در نظر می‌گیریم: سبد سرمایه‌ی (الف) شامل یک اختیار خرید اروپایی به علاوه‌ی مبلغ دلار (که در آن قیمت توافقی و زمان سررسید اختیار خرید هستند.) و سبد سرمایه‌ی (ب) که شامل یک اختیار فروش اروپایی به علاوه‌ی یک سهام است. هر دو سبد سرمایه‌ی فوق در زمان ، دارای ارزش معادل زیر خواهند بود:
با توجه به این که هر دو اختیار، اروپایی‌اند و نمی‌توان آنها را قبل از تاریخ سررسید به اجرا گذاشت، پس در حال حاضر نیز این دو سبد سرمایه ارزش‌های یکسانی دارند، یعنی این که:
به این رابطه، اصطلاحاً «رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید» می‌گویند[۳۶و۴۸]. رابطه‌ی فوق نشان ‌می‌دهد که می‌توان قیمت یک اختیار خرید اروپایی با قیمت توافقی و سررسید معین را از قیمت یک اختیار فروش اروپایی با همان قیمت توافقی و همان سررسید به دست آورد و بر عکس. اگر رابطه‌ی بالا برقرار نباشد، فرصت‌های آربیتراژی^[۴۹] ایجاد خواهد شد. (اگر در جریان یک معامله بتوان بدون گذاشتن سرمایه با احتمال مثبت پولی را به دست آورد و با احتمال صفر ضرری متحمل شد، در این صورت می‌گویند که در این معامله فرصت آربیتراژ وجود دارد[۴۹].)
۳ ارزش گذاری اختیار معامله لوییس بشیلیه^[۵۰] در پاریس هنگام مطالعه‌ی رفتار پویای بازار بورس پاریس در سال ۱۹۰۰، الگویی برای حرکت سهام ارائه داد. به همین علت بسیاری، بشیلیه را بنیان گذار ریاضیات مالی می‌دانند. در واقع بشیلیه مدل سهام را به صورت زیر بیان کرد:
یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک ، نوسان پذیری قیمت سهام و قیمت اولیه‌ی سهام می‌باشند.[۱۰و۱۱]
پاول ساموئلسن^[۵۱] نشان داد، که الگوی مناسب برای تغییرات قیمت کالاها در بازار بورس آن چیزی است که امروز، حرکت براونی هندسی نام دارد. ساموئلسون شرح می‌دهد که الگوی بشیلیه از تضمین مثبت بودن قیمت کالاها قاصر است و به ناسازگاری آشکار با اصول اقتصادی منجر می‌شود، در حالی که حرکت براونی هندسی با چنین دردسرهایی مواجه نیست[۳۷و۴۶]. این مدل به صورت زیر است:
که حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک، نرخ بازده مورد انتظار سهام و نوسان پذیری قیمت سهام می‌باشند. یعنی دارای توزیع لگاریتم نرمال است. به کمک حساب دیفرانسیل ایتو ثابت می‌شود [۴۳و۴۹] که این در واقع جواب معادله‌ی دیفرانسیل تصادفی
می‌باشد.
۳-۲-۱ مفروضات مدل- بلک- شولز: مفروضات اصلی مدل ارائه شده توسط بلک- شولز جهت قیمت گذاری اختیار معامله عبارتند از: ۱) رفتار قیمت سهام با مدل تابع لگاریتم نرمال( میانگین وانحراف معیار) مطابقت دارد. (در واقع حرکت براونی هندسی). ۲) هیچ گونه هزینه‌ی معاملاتی یا مالیاتی وجود ندارد. ۳) سهام مورد نظر در طول عمر اختیار معامله‌ی آن سود پرداخت نمی‌کند. ۴) هیچ گونه فرصت آربیتراژی وجود ندارد. ۵) معاملات اوراق بهادار در هر زمانی امکان پذیر می‌باشد. ۶) سرمایه گذاران می‌توانند با نرخ یکسانی (نرخ بهره‌ی بدون ریسک) وام بگیرند یا وام بدهند. ۷) نرخ بهره‌ی بدون ریسک کوتاه مدت ، ثابت است.[۳۶]
۳-۲-۲ فرمول‌های قیمت گذاری(ارزش گذاری تحت حرکت براونی): اگر یک دارایی کم خطر (شاید بدون ریسک) و ارزش اولیه‌ی این دارایی باشد با توجه به نرخ بهره‌ی مرکب ارزش این دارایی در زمان برابر است با
این یک فرایند معین است. همچنین اگر یک دارایی توأم با ریسک داشته باشیم(در واقع یک سهم داریم)، ، که به وسیله‌ی حرکت براونی زیر مدل شده است:
که یک حرکت براونی استاندارد، نوسان پذیری سهم و بازده‌ی مورد نظر انتظار سهم هستند. به طور کلی برای پوشش ریسک موجود در سرمایه گذاری ناچاریم یک استراتژی را در نظر بگیریم و برای این منظور در زمان به اندازه‌ی از بورس (دارایی توأم با ریسک) و به اندازه‌ی از دارایی بدون ریسک را در سبد سرمایه برای پوشش ریسک قرار می‌دهیم. یعنی در لحظه‌ی ‌ ارزش سبد سرمایه عبارت است از:
در اینجا هدف پیدا کردن دستوری (احتمالاً صریح) برای تابع است. با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو به معادله‌ی زیر خواهیم رسید[۴۱]:
که به معادله‌ی بلک- شولز معروف است. در نظریه‌ی معادلات با مشتقات جزئی می‌دانیم که با داشتن شرایط مرزی متفاوت جواب‌های متفاوت برای معادله ی بالا به دست می‌آید. برای معادله‌ی بالا هر شرط مرزی بیان کننده‌ی یک مشتق مالی است و جواب تحت آن شرط ارزش مشتق مالی را در هر لحظه ارائه می‌دهد. بنابراین اگر تابع جبرانیه‌ی یک اختیار معامله باشد، آن گاه با حل معادله‌ی بلک- شولز و شرط مرزی ارزش این اختیار معامله به دست می‌آید. ارزش اختیار خرید اروپایی با تابع جبرانیه‌ی با بهره گرفتن از معادله‌ی بلک‌-شولز به صورت زیر به دست می‌آید [۴۱] :
که در آن
منظور از تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. به همین ترتیب ارزش اختیار فروش اروپایی به صورت زیر است[۴۱]:
به همین منوال ارزش اختیار معاملات توأم با مانع به صورت زیر به دست می آید [۴۱]: اگر مانع ،
اگر ،

که در معادلات بالا
۳-۲-۳ ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی: یکی از نتایج مهم در قیمت گذاری اختیارمعاملات بر روی سهام «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» می باشد. می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد: «ارزش گذاری اوراق مشتقه صادره بر روی اوراق بهادار پایه مبتنی بر این فرض است که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند.»[۳۶]
اصل فوق بیان نمی‌کند که سرمایه گذاران بی تفاوت به ریسک هستند. آن چه که این اصل می‌گوید این است که مشتقاتی همچون اختیار معامله را با این فرض می‌توان ارزش گذاری کرد که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند. به بیان دقیق تر، ترجیحات مربوط به ریسک سرمایه گذاران در ارزش اختیار معامله‌ی سهام، که به صورت تابعی از قیمت دارایی پایه است، تأثیری ندارد و به همین دلیل است که در معادله‌ی بلک- شولز از بازده‌ی مورد انتظار سهام یعنی استفاده نمی‌شود. فرض ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی، یک ابزار قوی برای به دست آوردن قیمت مشتقات است. زیرا زمانی که از جهان بی تفاوت نسبت به ریسک به دنیای ریسک گریزی وارد می‌شویم، دو نتیجه‌ی مهم به دست می‌آید:

1. 1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار اوراق بهادار مساوی نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.

1. 1. نرخ مناسب تنزیل به کار برده شده جهت هر گونه پرداختن در آینده ،معادل نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.[۳۶]

می‌توان اختیار معاملات و سایر مشتقات را که نرخ بازده‌ی معینی در یک دوره‌ی زمانی خاص دارند، با بهره گرفتن از فرض « ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» به ترتیب زیر قیمت گذاری کرد:

1. 1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار دارایی پایه را نرخ بهره‌ی بدون ریسک، فرض کرد. (یعنی ).

1. 1. ارزش اختیار معامله یا عایدی مورد انتظار اختیار معامله در زمان سررسید را محاسبه کرد.‌

1. بازده‌ی مورد انتظار فوق را با نرخ بهره‌ی بدون ریسک تنزیل داد.[۳۶]