کمترین مقدار را داشته باشد. مساله رگرسیون چندکی با بهره گرفتن از برنامه­نویسی خطی زیر حل می­ شود:
که ماتریس طرح است.(Koenker، ۲۰۰۵)
مثال ۱-۲
برای اینکه رابطه­ بین درآمد استادان دانشگاه و تعداد سال­هایی که آنها به عنوان استاد مشغول به کار بودند مشخص شود، ۴۵۹ داده مربوط به حقوق استادان آمار آمریکا و تعداد سال­هایی که هر کدام به عنوان استاد بین سالهای ۱۹۸۰ تا ۱۹۹۰، مشغول به کار بوده ­اند جمع­آوری شده است. مدل رگرسیونی خطی استاندارد برای این داده ­ها به صورت زیر است:

که میزان درآمد، تعداد سال­های استاد بودن و خطای مدل است. فرض می­ شود خطاها مستقل هستند و توزیع نرمال دارند. با توجه به نمودار پراکندگی داده ­ها، به نظر می­رسد مناسب­تر است از مدل پیچیده­تری مانند مدل­های رگرسیونی چند جمله­ای استفاده شود. در شکل زیر،داده ­ها به همراه بهترین نمودار رگرسیونی درجه دوم
رسم شده است.
شکل ۱-۲
با توجه به شکل بالا، منحنی رگرسیون تصویر روشنی از توزیع حقوق نشان نمی­دهد زیرا تغییرات شکل توزیع حقوق نسبت به سال­های استادی به خوبی نشان داده نشده است. دلیل این موضوع این است که رگرسیون استاندارد، مدل­هایی را برازش می­دهد که نشان دهنده ارتباط بین میانگین حقوق و سال­های استادی است.
برای نشان دادن کامل­تر این ارتباط، در شکل زیر چارک­های شرطی میزان حقوق برای
به عنوان تابعی از سال­های استادی رسم شده است.
شکل ۱-۳
نمودارهای حاصل را نمودارهای رگرسیون چندکی گویند. با توجه به این نمودارها تغییر در میزان حقوق بهتر نشان داده شده است.
فصل دوم
دوره­نگارهای لاپلاسی
۲-۱ مقدمه
رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات (LAD) یک روش شناخته شده در تحلیل داده ­ها است که تاریخ آن به بیش از دو قرن پیش باز می­گردد. در سال­های اخیر و با پیشرفت روش­های محاسباتی، به ویژه الگوریتم­های برنامه نویسی خطی، رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات بار دیگر توجه محققان در زمینه ­های تئوری و عملی را به خود جلب کرده است. در سال۲۰۰۵،Koenker در کتابی به بررسی تاریخچه، پیشرفت­های اخیر در رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات و تعمیم­های این روش به روش رگرسیون چندکی پرداخته است. روش کمترین قدر مطلق انحرافات به دلیل پایا بودن در برابر وجود داده ­های پرت از اهمیت خاصی برخوردار است و خواص آماری برآوردگرهای کمترین قدر مطلق انحرافات در روش­های رگرسیون خطی و غیر خطی به صورت گسترده­ایی مورد مطالعه قرار گرفته است. برای اطلاعات بیشتر می­توانید به Bloomfield و Steiger (1983)، Breidtو Davis و Trindate (2001)، Dodge (1997 و ۲۰۰۲) ، Dielman (2005)، Koenker (2005) و Lai و Lee (2005) رجوع کنید.
در این فصل به کاربردی از رگرسیون کمترین قدر مطلق انحرافات در تحلیل سری­های زمانی اشاره کرده و به طور خاص با بهره گرفتن از این روش به تحلیل وابستگی­های پیاپی در داده ­های سری زمانی می­پردازیم. بدین منظور، در رگرسیون همساز، روش کمترین مربعات را با روش کمترین قدر مطلق انحرافات جایگزین می­کنیم که نتیجه آن معرفی تابعی مشابه با دوره­نگارها است که از آن با عنوان دوره­نگار لاپلاسی یاد خواهیم کرد.
در ادامه نشان داده خواهد شد که همانگونه که توزیع مجانبی دوره­نگار وابسته به طیف خود همبستگی است، توزیع مجانبی دوره­نگارهای لاپلاسی به صورت مستقیم وابسته به مفهومی است که طیف گذر صفر نامیده می­ شود.گذرهای از صفر به دلیل دارا بودن اطلاعاتی غنی در مورد وابستگی­های سری زمانی مفاهیمی شناخته شده بوده و از کاربرد وسیعی در زمینه تحلیل سیگنال برخوردار هستند (Kedem ( 1994)). ارتباط دوره­نگار لاپلاسی با طیف گذر از صفر دلیلی منطقی برای استفاده از این دوره­نگار را در تحلیل سری­های زمانی فراهم می ­آورد.
۲-۲ دوره­نگار لاپلاسی^[۱۷]
همانطور که در فصل اول اشاره شد، برای سری زمانی با طول و فرکانس دلخواه در بازه دوره­نگار به صورت زیر تعریف می­ شود:

که در آن است. علاوه بر آن نشان داده شد که برای فرکانس­های فوریه ، که عددی صحیح است، دوره­نگار را با توجه به رگرسیون همساز می­توانیم به صورت زیر بازنویسی کنیم:

که در آن از رگرسیون کمترین مربعات (LS) و از رابطه زیر بدست آمده و رگرسور همساز به صورت تعریف می شود: