۰
-۲
-۴
-۶
۶
۴
۲
شکل (۳-۳) تابع لوجستیک با z بر روی محور افقی و f(z) بر روی محور عمودی
تابع لوجستیک مفید است زیرا می‌تواند ارزشی از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت به‌عنوان ورودی  اتخاذ نموده ولی خروجی  محدود میان صفر و یک بدهد. متغیر  نماینده مجموعه متغیرهای مستقل است در حالی که  نماینده احتمال پیامد خاص با توجه به مجموعه متغیرهای توضیح‌دهنده می‌باشد. متغیر  معمولاً به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(۳-۴۰)
تابع لوجستیک شیوه مفیدی برای توصیف روابط میان یک یا چند متغیر مستقل و متغیر واکنش جفتی است که به‌‌صورت احتمال بیان شده و فقط دو ارزش دارد. تابع لوجستیک احتمال انتقال متغیر در زمان با متغیرهای اطلاعاتی  که  (a تعداد متغیرهای برون‌زا) است به‌صورت زیر می باشد:

(۳-۴۱)
(۳-۴۲)
فیلاردو (۱۹۹۴) ذکر نمود که این شکل از توابع، احتمالات انتقال را به فاصله ]۱و۰[ محدود می کند.
(۳-۴۳)
و
(۳-۴۴)
احتمالات انتقال، غیرمنفی و محدود بین صفر و یک است به این معنی که علامت‌های  و  تحت کنترل علائم  و  می‌باشند. برای  ، سطح بالای در  به این معنی است که بازده‌های سهام با احتمال بیشتری در رژیم ۱ باقی می‌ماند. برعکس،  به این معنی است که سوئیچ به حالت نوسان‌پذیری بالا با احتمال بیشتری به دنبال سطح بالای  خواهد بود(همان).
مطابق با تابع لوجستیک، احتمال انتقال ثابت به‌صورت زیر تعریف می‌گردد:
(۳-۴۵)
(۳-۴۶)
در این حالت برای تعیین احتمال انتقالات رژیمی باید پارامترهای  و  تخمین زده شوند. مزیت استفاده از تابع لوجستیک و تخمین پارامترهای  و  به جای تخمین مستقیم پارامترهای  و  این است که در تابع لوجستیک پارامترهای  و  می‌توانند از  تا  تغییر نمایند در صورتی که در حالت دوم باید پارامترهای  و  را در فرایند بهینه‌سازی بین ۰ تا ۱ محدود نماییم. بنابراین برای کارایی بیشتر از تابع لوجستیک استفاده می‌کنیم.
۳-۳-۵-۳ مدت زمان مورد انتظار
احتمالات انتقالی همچنین مدت زمان مورد انتظاری که انتظار می‌رود سیستم در رژیم معینی باشد را تعیین می کند.
اگر  را مدت زمان رژیم  تعریف نماییم، در این‌‌صورت احتمال  دوره ماندن در رژیم  عبارت است از:
(۳-۴۷)
بنابراین مدت زمان مورد انتظار رژیم  توسط معادله ذیل بدست می‌آید(همان):
(۳-۴۸)
که
۳-۳-۵-۴ احتمالات انتقال متغیر در زمان
با اجازه دادن به ماتریس انتقال  که وابسته به متغیر  باشد، ماتریس انتقال متغیر در زمان  به‌صورت زیر فرموله می‌گردد:
(۳-۴۹)
در این معادله  متغیر(های) اطلاعاتی است که تکامل تدریجی رژیم نامشهود به آن وابسته خواهد بود.
۳-۳-۵-۵ مدل‌های رژیمی سوچینگ
پرتفوی ریسکی بنگاه‌ها یا یک اقتصاد در طول زمان ثابت نمی‌ماند، تغییر رویدادهای سیستماتیک و غیرسیستماتیک ممکن است ریسک مالی و تجاری بنگاه‌ها را تغییر بدهد. در اینجا این استدلال می‌شود که این ممکن است بدلیل انتقالات ناپیوسته در نوسانات بازدهی مشتق شود. تغییر در رژیم بصورت قابل پیش‌بینی درنظر گرفته شود بلکه به عنوان یک رویداد تصادفی درنظر گرفته می‌شود. تاثیر این انتقالات ریسک باید در محاسبه تحلیل ریسک و فرایند پیش‌بینی توسط مدیران ریسکی در بررسی ریسک بازار و تخصیص سرمایه و بوسیله قانون‌گذاران در تعریف الزامات سرمایه‌ای درنظر گرفته شود. در ادامه به معرفی انواع مدل‌های رژیم سوئیچینگ پرداخته می‌شود(کیم^[۱۶۷] ۱۹۹۴).
- مدل‌های رژیم سوئیچینگ ساده (SSRM)
یک مدل رژیم سوئیچینگ ساده می‌توان بصورت زیر نوشت:
(۳-۵۰)
در رابطه فوق و قیمت سهام می‌باشد. یک زنجیره مارکوف با k حالت و ماتریس احتمال انتقال اگر k=2 داریم:
(۳-۵۱)
و ماتریس انتقال برابر است با
(۳-۵۲)
پارامتر p وq احتمالاتی هستند که نوسانات در همان رژیم باقی می‌مانند. در مدل میانگین و واریانس بازدهی‌ها فقط به عنوان نتیجه یک دوره، رویداد گسسته تغییر می‌کنند.
مدل‌های رژیم سوئیچنگ که توسط کیم (۱۹۹۴) و نوردن و اسکالر^[۱۶۸] (۱۹۹۳) برای بازدهی بازار سهام بکار برده شد ، فرض می‌کند که بازدهی‌های دارای ویژگی ترکیبی از توزیع‌ها می‌باشند. این رویکرد که با ترکیب دو توزیع نرمال توسط مورگان پیشنهاد شده به عنوان یک متودولوژی جدید برای تخمین ارزش در معرض ریسک دشوار می‌باشد. در روش مورگان متغیرهای تصادفی انتقال ناپیوسته یک متغیر برنولی است و فرض گردیده که دارای دو ارزش ۰ و ۱ به ترتیب با احتمالات و (۱-) می‌باشد. ارزش آتی این متغیر () بستگی به ارزش دارد. در روش مورگان توزیع بازدهی‌های آینده صرفاً بستگی به احتمالات غیرشرطی زنجیره مارکوف دارد:
(۳-۵۳)
مزیت استفاده از زنجیره مارکوف در مقابل مشخصه برنولی، برای تغییر ناپیوسته تصادفی این است که زنجیره مارکوف اجازه می‌دهد تا اطلاعات شرطی در فرایند پیش‌بینی استفاده بشود. منافع این رویکرد عبارت است:۱) انطباق و تشریح سری زمانی ۲) تفسیر اثر خوشه شناخته شده ۳) پیش‌بینی بهتر در مقایسه با ترکیبی از مدل توزیع‌ها، زیرا مدل‌های رژیم سوئیچینگ یک توزیع پیش‌بینی شرطی زمانی را نسبت به توزیع پیش‌بینی‌شده غیر شرطی تولید می‌کنند.
برای محاسبه VaR تحت این مدل ساده، ضروری است که برای تعیین ارزش بحرانی از توزیع شرطی استفاده شود که چگالی تجمعی آن a است. با فرض k=2 ارزش بحرانی (و همچنین VaR ) بصورت زیر تعریف می‌شود:
(۳-۵۴)
در رابطه فوق N توزیع نرمال است، I_t اطلاعات موجود در دوره t و از فیلتر هامیلتون (۱۹۹۴) بدست آمده است. و میانگین و واریانس بصورت:
(۳-۵۵)
- مدل بتای رژیم سوئیچینگ (SRBM)
مدل ساده فوق یک رابطه صریحی را بین بازدهی سهام و بازدهی شاخص بازار فراهم نمی‌کند. مدل بتای رژیم سوئیچینگ (SRBM) بر اساس مدل بازار مرتب می‌گردد است بگونه‌ای که بازدهی یک سهام نوعی i بوسیله رژیم سودیچینگ شاخص بازار و تغییرات رژیمی ریسک خاصی از دارایی مشخص می‌شود. این مدل بصورت زیر نوشته می‌شود:
(۳-۵۶)
در چنین چارچوبی میانگین شرطی دارایی ریسکی بوسیله پارامتر () داده شده بعلاوه بار عاملی^{[۱۶۹][۱۷۰]} بر میانگین شرطی عامل. بار عاملی برای جبران ریسک دارایی است که بستگی به عامل: کواریانس بالاتر متقاضی صرف ریسک بالاتر است. واریانس هست مجموع واریانس بازاری شاخص وزن‌دهی شده بوسیله بار عامل و واریانس ریسک ویژه.
برای محاسبه VaR با فرض k=2 داریم:
(۳-۵۷)
N معادل توزیع نرمال با:
(۳-۵۸)