,
(
ˆ
۱
)
,
(
ˆ
۲
۱
۱
۰
-
-
-
-
+
+
+
=
-
=
f
f
f
f
q
i=1,2,…,k (3–۱۸)
از رابطه (۳ –۱۸)، مقدار آماره t مربوط به ضریب محاسبه شده بلندمدت نیز قابل محاسبه است. ایندر^[۳۹] (۱۹۹۳) نشان می‌دهد که آماره های t از این نوع، دارای توزیع نرمال حدی معمول هستند و آزمون t بر اساس کمیت‌های بحرانی معمول از توان خوبی برخوردار است. بنابراین به کمک می توان آزمون های معتبری را در مورد وجود رابطه بلندمدت انجام داد(نوفرستی،۱۳۷۸). در روش ARDL برای تخمین رابطه درازمدت، پس از تخمین مدل پویای ARDL، فرضیه زیر مورد آزمون قرار می گیرد:

-۱ ≥ ۰ : H₀
-۱ < 0 : H₁
فرضیه صفر بیانگر عدم وجود همجمعی یا رابطه بلندمدت است، چون شرط آن که رابطه پویای کوتاه مدت به سمت تعادل بلندمدت گرایش یابد، آن است که مجموع ضرایب کمتر از یک باشد. برای انجام آزمون مورد نظر که توسط بنرجی، دولادو و مستر در سال ۱۹۹۲ ارائه شده است، باید عدد یک از مجموع ضرایب با وقفه متغیر وابسته کسر و بر مجموع انحراف معیار ضرایب مذکور تقسیم شود که آماره آزمون از نوع آماره t نتیجه خواهد شد.
(۳-۱۹)
اگر قدرمطلق آماره t به دست آمده از قدرمطلق مقادیر بحرانی ارائه شده توسط بنرجی، دولادو و مستر در سطح اطمینان ۹۵% بزرگ تر باشد، فرضیه صفر مبنی بر عدم وجود همجمعی رد شده و وجود رابطه بلندمدت پذیرفته می‌شود(تشکینی ،۱۳۸۴).
۳-۸- الگوی تصحیح خطا^[۴۰]
گرنجر (۱۹۸۸) بیان می‌کند که در صورت وجود یک رابطه هم انباشتگی بین دو متغیر، علیت به مفهوم گرنجری، حداقل در یک جهت (یک طرفه یا دوطرفه) بین آن ها وجود نخواهد داشت. به هر حال اگر چه آزمون هم انباشتگی می تواند وجود یا عدم وجود رابطه علیت گرنجری بین متغیرها را معین کند، اما نمی تواند جهت رابطه علیت را مشخص کند. انگل و گرنجر (۱۹۸۷) عنوان می‌کنند که اگر دو متغیر هم انباشته باشند، همواره یک الگوی تصحیح خطای برداری بین آن ها وجود خواهد داشت. در نتیجه می‌توان برای بررسی رابطه علیت گرنجری بین متغیرها از یک الگوی تصحیح خطای برداری استفاده کرد. الگوی تصحیح خطا بیان می‌کند که تغییرات متغیر وابسته، تابعی از انحراف از رابطه بلندمدت (که با جزء تصحیح خطا بیان می شود) و تغییرات سایر متغیرهای توضیحی است.
این الگوها در کارهای تجربی از شهرت فزاینده ای برخوردار شده اند. عمده ترین دلیل شهرت الگوهای تصحیح خطا آن است که نوسانات کوتاه مدت متغیرها را به مقادیر بلندمدت آن ها ارتباط می دهند، البته در کوتاه‌مدت ممکن است عدم تعادل هایی وجود داشته باشد. در این صورت می‌توان جمله خطای رابطه زیر را به عنوان “خطای تعادل” تلقی کرد (نوفرستی، ۱۳۷۸).
(۳-۲۰)
اکنون می‌توان این خطا را برای پیوند دادن رفتار کوتاه‌مدت y_t با مقدار تعادلی بلندمدت آن مورد استفاده قرار داد. برای این منظور می توان الگویی به صورت زیر تنظیم کرد.
(۳-۲۱)
که در آن Û_t-1 جمله خطای برآورد رگرسیون رابطه (۳-۲۰) با یک وقفه زمانی است. یک چنین الگویی به الگوی تصحیح خطا معروف است که در آن، تغییرات در y_t به خطای تعادل دوره قبل ارتباط داده شده است.
وقتی x_t و y_t(که هر دو جمعی از مرتبه یک (۱)I هستند) همجمع باشند، ‌u_t در رابطه (۳-۲۰) جمعی از مرتبه صفر (۰)I می‌باشد. در نتیجه می‌توان این الگو را بدون هراس از به دست آوردن یک رگرسیون کاذب به روش OLS برآورد کرد و از آماره های t و F در آزمون الگو بهره جست (نوفرستی،۱۳۷۸).
مطالب فوق بر یک استراتژی مدل سازی دو مرحله ای به صورت زیر دلالت دارد:
مرحله اول: ‌ابتدا باید پارامترهای مربوط به الگوی بلندمدت را با بهره گرفتن از آمار مربوط به سطح متغیرها برآورد کنیم و سپس فرضیه صفر عدم وجود همجمعی را بین متغیرهای الگو آزمون می‌نماییم. به این ترتیب به مجموعه ای از متغیرها دست خواهیم یافت که با هم همجمع می‌باشند و در نتیجه یک رابطه تعادلی بلند مدت را ارائه می‌کنند.
مرحله دوم: جمله تصحیح خطا^[۴۱] (ECT) که همان جمله خطای رگرسیون الگوی ایستای بلندمدت  است را به عنوان یک متغیر توضیح دهنده در الگوی ECM مورد استفاده قرار داده و آن را برآورد می‌کنیم. سپس با انجام آزمون های لازم، ‌ساختار پویایی کوتاه‌مدت را مشخص می‌کنیم. ضریب ECT سرعت تعدیل به سمت تعادل را نشان‌ می‌دهد و انتظار می رود که از نظر علامتی منفی باشد (نوفرستی، ۱۳۸۷ ). این ضریب نشان می‌دهد در هر دوره چند درصد از عدم تعادل متغیر وابسته، تعدیل شده و به سمت رابطه بلندمدت نزدیک می‌شود (تشکینی، ۱۳۸۴ ).
برای تنظیم الگوی تصحیح خطا کافی است که جملات خطای مربوط به رگرسیون همجمعی را با یک وقفه زمانی به عنوان یک متغیر توضیح دهنده در کنار تفاضل مرتبه اول سایر متغیرهای الگو قرار دهیم و سپس به روش OLS ضرایب الگو را برآورد کنیم. در نرم افزار Microfit این امکان وجود دارد که وقتی الگوی تعادلی بلند مدت مرتبط با الگوی ARDL استخراج شد، الگوی تصحیح خطای مرتبط با آن را نیز ارائه کند (نوفرستی، ۱۳۷۸).
۳-۹ - آزمون‌های ثبات
آزمون‌هایی در زمینه ثبات مدل‌های رگرسیون مطرح شده است. یکی از آن‌ها آزمون چاو است (آزمون  ). در این آزمون باید یک نقطه شکست از پیش انتخاب شود. اما در بیش‌تر مطالعات کاربردی چنین اطلاعات قبلی در دسترس نیست. در این وضعیت توصیه می‌شود که آزمون‌های تشخیص بر مبنای روش رگرسیون بازگشتی انجام شود. رگرسیون بازگشتی شامل یک سری از تخمین‌های حداقل مربعات معمولی است.
در رگرسیون بازگشتی کم‌ترین تعداد مشاهدات (  ) مبنا قرار می‌گیرد و با آن‌ها مدل تخمین زده می‌شود، معمولاً این حداقل بستگی به تعداد پارامترهای مدل دارد که باید برآورد شوند. پس از آن مدل بر اساس  ، تا  مشاهده تخمین زده می‌شود. این روش یک سری زمانی از تخمین‌های حداقل مربعات معمولی را به دست خواهد داد.
اگر مدل از نظر ساختاری باثبات باشد، باید میزان انحرافات در تخمین پارامترها کوچک باشد. اگر تخمین پارامترها به طور معنی‌دار و سیستماتیکی تمایل به تغییر داشته باشد، می‌توان بی‌ثباتی در ضرایب یا خطای تصریح مدل را انتظار داشت. از طریق مدل‌های بازگشتی می‌توان پسماندهای بازگشتی را استخراج کرد.
۳-۹-۱- آزمون  مدل رگرسیونی فرضی زیر را در نظر بگیرید: