بررسی مسئله رسانش متناوب در جامدات بی نظم

۲-۱ رسانش متناوب

رسانش متناوب در جامدات بی­نظم، از چندین دهه­ پیش مورد مطالعه قرار گرفته است. بعد از سال ۱۹۷۰ مقالات متعددی رسانندگی الکترونی یا یونی وابسته به فرکانس جامدات بی­نظمی چون، نیمه­رساناهای آمورف ، پلیمرهای رسانای یونی یا الکتریکی، پلی کریستال­ها، ترکیبات فلز-کلاستر^[۴۸]، اکسید شیشه­های یونی^[۴۹]کریستال­های غیر کامل و … را مورد بررسی قرار داده­اند.
اگر ،چگالی کل جریان حاصل از حامل­های بار آزاد و مقید و ، میدان الکتریکی وابسته به فرکانس باشد، آنگاه رسانندگی مؤثر با قانون اهم بصورت تعریف می­ شود که ، رسانندگی مختلط وابسته به فرکانس است. رابطه­ و با فرکانس به­ صورت و در نظر گرفته می­ شود که قسمت حقیقی تابع را نشان می­دهد. به کمک رسانش مؤثر می­توان ثابت دی الکتریک مختلط وابسته به فرکانس را بصورت زیر تعریف کرد:
(‏۲‑۱)
که در آن گذردهی الکتریکی خلأ است. اگر بار آزادی وجود نداشته باشد، آنگاه و خواهد بود که در آن چگالی دو قطبی­های الکتریکی است. در این صورت رابطه­ (۲-۱) به تعریف استاندارد ثابت دی­الکتریک وابسته به فرکانس، یعنی، ، منجر می­ شود که در آن، ، دامنه­ مختلط بردار جابجایی، ، می­باشد.
در فرکانس­های خیلی کمتر از فرکانس­های فونونی، ، که در اینجا مورد توجه ما قرار دارد، پلاریزاسیون بارهای مقید بصورت آنی ^[۵۰] است. این موضوع بیانگر این مطلب می­باشد که، ثابت دی­الکتریک بارهای مقید،، مستقل از فرکانس خواهد بود. بنابراین سهم بارهای مقید در رسانش مؤثر، ، بصورت می­باشد. اگر رسانش متناوب ، بعنوان سهم بارهای آزاد در در نظر گرفته شود، خواهیم داشت:

(‏۲‑۲)
که با مقایسه­ رابطه­ ۲-۱ و ۲-۲ رسانش وابسته به فرکانس بارهای آزاد بر حسب ثابت دی­الکتریک بصورت زیر بدست می ­آید.
(۲-۳)
بطور کلی قسمت حقیقی را با و قسمت موهومی آنرا با نمایش می­ دهند. قسمت موهومی ، بیانگر اختلاف فاز بین میدان و جریان بارهای آزاد است. در فرکانس­های پایین­تر از فرکانس­های فونونی، جابجایی بارهای آزاد همیشه یک گام زمانی، که حداکثر به اندازه­ یک چهارم دوره­ تناوب است، عقب تر از میدان الکتریکی است. از این رو جریان زودتر از میدان به بیشینه مقدار خود می­رسد. این مطلب دلالت بر مثبت بودن دارد. قسمت حقیقی نیز بیانگر اتلاف ترمودینامیکی بوده و همواره مقدار مثبتی است. معمولاً داده ­های تجربی بر حسب قسمت حقیقی رسانندگی وابسته به فرکانس گزارش می­ شود.

۲-۱-۱ عمومیت رسانش متناوب در جامدات بی­نظم

مطالعات تجربی انجام شده بر روی رسانش متناوب در جامدات بی نظم نشان دادند که، رسانندگی وابسته به فرکانس، در اکثر جامدات بی­نظم دارای رفتار کیفی مشابهی می­باشد بطوریکه برای فرکانس­های بالاتر از فرکانس مشخصه ، رسانندگی ، با یک قانون توانی از بصورت زیر با افزایش فرکانس افزایش می­یابد[۴۱].
(۲-۴)
در اکثر موارد بوده و در یک بازه­ی فرکانسی معین، با کاهش دما افزایش می­یابد. به این صورت که وقتی دما به سمت صفر میل می­ کند، n به یک نزدیک می­ شود. فرکانس مشخصه­ی متناسب با رسانندگی می­باشد.
(۲-۵)
این رابطه به قانون بارتون-ناکاجیما-نامیکاوا^[۵۱] معروف است[۵۱و۵۲].
در شکل ۲-۱ نمونه ­ای از رسانندگی متناوب، بر حسب فرکانس و دما، برای یک فیلم الماسی پلی­کریستال، که رسانشی الکترونی است و همچنین برای ، در حالت مذاب با ویسکوزیته­ی بسیار بالا ،که رسانشی یونی می­باشد، نشان داده شده است.
شباهت دو تصویر قابل توجه است. بویژه با در نظر گرفتن این حقیقت که رسانش یونی، که یک فرایند کلاسیکی عبور از سد پتانسیل است و رسانش الکترونی در جامدات بی نظم، که معمولاً از طریق تونل زنی مکانیک کوانتمی بین حالت­های جایگزیده می­باشد، با دو مکانیزم کاملاً متفاوت دارای رفتارهای کیفی یکسانی هستند. سؤالی که در اینجا مطرح می­ شود این است که چه چیز مشترکی بین این مکانیزم­ های رسانندگی در جامدات بی­نظم وجود دارد؟ دایر^[۵۲] [۵۵] والیوت^[۵۳] [۳۸] به این نکته اشاره کردند که منشأ این تشابه، توزیع پهن آهنگ پرش (در مورد رسانش یونی) و یا آهنگ تونل زنی (در مورد رسانش الکترونی)، برای رسانندگی متناوب در جامدات بی­نظم است.
(الف)
شکل ‏۲‑۱: رسانندگی متناوب بر حسب دما و فرکانس برای دو نوع رسانش الکترونی و یونی. الف) رسانندگی فیلم الماسی پلی کریستال [۵۳]. ب) رسانندگی در حالت مذاب با ویسکوزیته­ی بسیار بالا[۵۴]. در فرکانس­های پایین رسانندگی ثابت است و در فرکانس­های بالا از یک قانون توانی، با نمای زیر یک، تبعیت می­ کند.
(ب)
به منظور بررسی مشاهدات تجربی، مدل­های متعددی از رسانندگی متناوب ارائه گردیده است. شاید بتوان گفت که بیشترین مطالعات روی مدل جهشی صورت گرفته است. این مدل پرش حامل­های بار را در یک محیط تصادفی، که معمولاً با یک شبکه نمایش داده می­ شود، تشریح می­ کند. مدل جهشی برای احتمال پیدا کردن یک حامل بار، در مکان و زمان t، با معادله­ مادر^[۵۴] زیر داده می­ شود:
(۲-۶)
که در آن آهنگ گذار یا احتمال پرش از مکان به مکان بوده و مجموعه­ تمام مکان­هایی است که امکان پرش به آنها وجود دارد. برای وارد کردن اثر بی­نظمی محیط، آهنگ گذار را بصورت یک تابع نمایی از انرژی فعال­سازی^[۵۵] یا فاصله­ی تونل­زنی^[۵۶] که تنها برای پرش به نزدیکترین همسایه­ها غیر صفر است، در نظر می­گیرند. بجز حالت یک بعدی، حل دقیقی برای معادله­ (۲-۶) وجود ندارد. بنابراین برای تخمین رسانندگی متناوب، تقریب­های متعددی پیشنهاد شدند. یکی از تقریب­هایی که کاربرد زیادی نیز پیدا کرده است تقریب محیط مؤثر()^[۵۷] [۶^[۵۸]-۶۰] و روش­های وابسته به آن است[۱^[۵۹]]. این تقریب­ها یک تصویر کیفی از اکثر خصوصیات رسانش متناوب را فراهم می­ کنند ولی مقادیر آنها برای تعیین دقیق نیستند. در مدل جهشی معمولاً فرض بر این است که حامل های بار با یکدیگر بر هم کنش ندارند، بنابراین اثر خود طردی^[۶۰]، که طبق آن در هر مکان شبکه تنها یک ذره می ­تواند وجود داشته باشد، و همچنین اثر برهم کنش کولنی نادیده گرفته می­ شود. اخیراً این اثرها نیز در نظر گرفته شده ­اند[۴۶]، ولی با وارد کردن این اثرها، مدل بسیار پیچیده می­ شود. مدل ماکروسکوپیک که در بخش بعد به آن خواهیم پرداخت، برهم کنش­های کولنی را از طریق قانون گاؤس در نظر می­گیرد بدون اینکه مدل چندان پیچیده شود.

۲-۲ مدل ماکروسکوپیک

در اینجا به بررسی معادلات حاکم بر رسانندگی متناوب در یک جامد با رسانندگی متغیر با مکان و مستقل از فرکانس خواهیم پرداخت[۶۲و۶۳]. در این مدل فرض بر این است که جسم جامد دارای حامل­های بار آزاد با رسانندگی موضعی و بارهای مقید که با ثابت دی الکتریک ثابت مشخص می­شوند، می­باشد. اگر چگالی جریان بارهای آزاد، بردار جابجایی میدان الکتریکی و پتانسیل الکترواستاتیکی باشد ، معادلات اساسی به صورت زیر خواهند بود:
(۲-۷)
با ترکیب این معادلات در قانون گاؤس و معادله­ پیوستگی:
(۲-۸)
(۲-۹)
که چگالی بارهای آزاد می­باشد و با فرض یک میدان خارجی به صورت تابعی از مکان ضربدر، خواهیم داشت:
(۲-۱۰)
با قرار دادن روابط ۲-۷ و ۲-۸ در رابطه­ ۲-۱۰ و معرفی فرکانس لاپلاس بصورت :
(۲-۱۱)
به رابطه­ زیر برای پتانسیل الکترواستاتیکی می­رسیم:
(۲-۱۲)
میانگین چگالی جریان بر حسب با رابطه­ زیر داده می­ شود.
(۲-۱۳)
با گسسته کردن معادله­ ۲-۱۲ که جزئیات آن در بخش بعد خواهد آمد، به یک شبکه­ خازن-مقاومت می­رسیم، بطوریکه هر باند شبکه شامل یک خازن و یک مقاومت است که بصورت موازی با هم قرار دارند. رسانش ظاهری بین هر بلوک از شبکه با رابطه­ زیر داده می­ شود.
(۲-۱۴)
در این رابطه ثابتی است که با توجه به شرط تصحیح حد پیوستگی چگالی جریان بار آزاد، ، تعیین می­ شود. به این صورت که، اگر جریان مقاومت باشد، بصورت عددی با رابطه­:
(۲-۱۵)
داده می­ شود ( ثابت شبکه و بعد آن است). از طرف دیگر با در نظر گرفتن اختلاف پتانسیل بین هر بلوک بصورت، ، داریم:
(۲-۱۶)
(۲-۱۷)
با جایگذاری رابطه­ ۲-۱۶ و۲-۱۷، در دو طرف رابطه­ ۲-۱۵، ثابت مورد نظر بصورت، ، بدست می ­آید و رابطه­ رسانش ظاهری بین هر بلوک شبکه بصورت زیر خواهد شد.
(۲-۱۸)