حداکثر حد پرشوندگی در مخلوط های دوتایی
حد پرشوندگی^[۱۰۲] یک مقدار ثابت نیست و مطابق با تعداد ذرات موجود در داخل یک حجم معین و قطر ذرات تغییر می کند. ذرات کوچکتر در میان ذرات بزرگتر جمع می شوند و حد پرشوندگی را افزایش می دهند. برای یک مخلوط دوتایی با قطرهای d₁>d₂ ترکیب مخلوط^[۱۰۳] به صورت تعریف می شود که اگر: (Fedors and Landell, 2010).

(۲-۸۶)
رابطه حداکثر حد پرشوندگی برای مخلوط به صورت زیر بیان می شود: (Fedors and Landell, 2010)
(۲-۸۷)
اگر رابطه (۲-۸۶) برقرار نباشد، حداکثر حد پرشوندگی برای مخلوط دوتایی برابر است با:
(۲-۸۸)
از حد پرشوندگی برای محاسبه تابع توزیع شعاعی استفاده می شود.
در این روابط: α_۱,max حداکثر حد پر شوندگی ذرات جامد اول، α_۲,max حداکثر حد پر شوندگی ذرات جامد دوم و d₁ و d₂ قطرهای ذرات متناظر آنها هستند.
تنش های برشی جامد
تانسور تنش جامد شامل ویسکوزیته های برشی و توده ناشی از تبادل مومنتوم ذره در اثر انتقال و برخورد است. ویسکوزیته اصطکاکی را نیز می توان برای لحاظ کردن انتقال ویسکوپلاستیک زمانی که فاز جامد به حداکثر کسر حجمی برسد، در نظر گرفت. بخش های برخوردی و جنبشی نیز اضافه می شود تا ویسکوزیته برشی جامد به دست آید.
(۲-۸۹)
که: _sµ، ویسکوزیته برشی جامد،_s,collµ: ویسکوزیته برخورد، _s,kinµ: ویسکوزیته جنبشی و _s,frµ: ویسکوزیته اصطکاکی هستند.
ویسکوزیته برخورد (Syamlal et al, 1993; Gidaspow et al, 1992)
بخش برخورد ویسکوزیته برشی به صورت زیر مدل می شود:
(۲-۹۰)
که μ_s,coll ویسکوزیته برخورد، α_s: کسر حجمی فاز جامد، ρ_s: دانسیته فاز جامد، e_ss: ضریب ارتجاعی برخوردهای ذرات، d_s: قطر ذرات جامد، θ_s: دمای دانه ای وg_0,ss تابع توزیع شعاعی هستند.
ویسکوزیته جنبشی
دو رابطه کلی برای ویسکوزیته برشی دانه ها در منابع وجود دارد که عبارتند از:
رابطه Syamlal et al (۱۹۹۳):
(۲-۹۱)
رابطه Gidaspow et al (۱۹۹۲):
(۲-۹۲)
ویسکوزیته توده (Lun et al, 1984)
ویسکوزیته توده جامد به دلیل مقاومت ذرات دانه ای در برابر تراکم و انبساط در نظر گرفته می شود که به صورت زیر بیان می شود: (Lun et al, 1984)
(۲-۹۳)
که _sλ: ویسکوزیته توده و p فشار جامد g_0,ss تابع توزیع شعاعی، ρ_s دانسیته جامد، d_s قطر ذره، e_ss، ضریب ارتجاعی برخوردهای ذرات، θ_s دمای دانه ای و α_s کسر حجمی ذرات جامد هستند.
ویسکوزیته اصطکاکی (Schaeffer, 1987)
در جریان متراکم با برش پایین، وقتی کسر حجمی فاز جامد نزدیک به حد پرشوندگی است، اصطکاک میان ذرات تولید تنش بیشتری می کند. برای محاسبه ویسکوزیته برشی مواد جامد از رابطه Schaeffer استفاده می شود:
(۲-۹۴)
که در این رابطهp_s، فشار جامدها، زاویه اصطکاک داخلی و I_2D ثابت دوم تانسور تنش منحرف شونده^[۱۰۴] است.
در جریان های دانه ای با کسر حجمی جامد بالا، برخوردهای لحظه ای اهمیت کمتری دارند. به کارگیری تئوری سنتیک برای جریان های دانه ای مناسب نیست. چون ذرات در تماس با هم هستند و تنش های اصطکاکی حاصل باید در نظر گرفته شوند. تنش های اصطکاکی معمولاً به شکل نیوتنی نوشته می شوند:
(۲-۹۵)
که: τ_friction، تنش اصطکاکی، p_friction: فشار اصطکاکی، µ_friction: ویسکوزیته اصطکاکی، u_s سرعت ذرات دانه ای، I ماتریس واحد وT علامت ترانهاده ماتریس هستند.
وقتی کسر حجمی جامد از مقدار بحرانی بیشتر می شود، تنش اصطکاکی به تنش حاصله از تئوری سینتیکی اضافه می شود. وقتی حداکثر پرشوندگی برابر ۶۳/۰ باشد، این مقدار معمولاً ۵/۰ قرار داده می شود پس:
(۲-۹۶)
(۲-۹۷)
به دست آوردن فشار اصطکاکی اساساً به صورت تجربی است. در حالی که ویسکوزیته اصطکاکی را می توان از اصول اولیه به دست آورد. به کارگیری قانون کولن اصلاح شده منجر به رابطه ای به شکل زیر می شود:
(۲-۹۸)
برای فشار اصطکاکی مدل Johnson and Jackson به شرح زیر می باشد: (Johnson and Jackson, 1987)
(۲-۹۹)
که Fr=0.05 ، n=2 و p=3. α_s کسر حجمی جامد و α_s,max حداکثر کسر حجمی و α_s,min حداقل کسر حجمی ذرات جامد هستند. مقدار بحرانی برای کسر حجمی جامد برابر ۵/۰ می باشد. ضریب Fr به صورت تابعی از کسر حجمی اصلاح می شود:
(۲-۱۰۰)
که در این مدل ویسکوزیته اصطکاکی به صورت زیر به دست آورده می شود:
(۲-۱۰۱)
زاویه اصطکاک داخلی، p_friction: فشار اصطکاکی، µ_friction: ویسکوزیته اصطکاکی هستند.
۲-۷-۲-۳-۵-انتقال حرارت:
موازنه انرژی داخلی فاز q برحسب آنتالپی فاز نوشته می شود که به صورت زیر تعریف می گردد:
(Fluent user guide, 2006)
(۲-۱۰۲)