حال اگر یک فضای احتمال باشد و همچنین یک فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط حرکت براونی {} باشد.
۳-۲-۴ قضیه(فیمن-کاک): معادله‌ی دیفرانسیل زیر را در نظر می‌گیریم:
اگر یک جواب این معادله، با شرط مرزی زیر باشد
آن گاه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
در جایی که یک فرایند تصادفی است و در معادله‌ی دیفرانسیل زیر با شرط اولیه‌ی صدق می‌کند:
[۱۶]. ۳-۲-۵ نتیجه: اگر معادله‌ی(۶) با معادله‌ی بلک- شولز جایگزین شود و همچنین تابع تابع جبرانیه‌ی اختیار
معامله باشد، آن گاه
این امید تنزیل یافته، تحت اندازه احتمال (پیوست الف-۳)، مارتینگل است و بنابراین اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» صادق است. به اندازه احتمال اندازه‌ی ریسک- خنثی گفته می‌شود. [۱۶]

۳-۲-۶ قضیه (اولین قضیه‌ی اساسی ارزش گذاری دارایی): اگر در بازار فرصت آربیتراژ وجود نداشته باشد، اندازه‌ی احتمالی مانند ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته‌ی دارایی نسبت به آن مارتینگل است.[۸و۲۴] و (پیوست الف-۳).
۳-۳ ارزش گذاری اختیار معاملات تحت فرایندهای لوی نمایی بدون شک در کهکشان فرایندهای تصادفی استفاده شده برای نوسانات مدل سهام، حرکت براونی درخشان‌ترین ستاره است. اما آیا توزیع احتمالات «لگاریتم قیمت‌های دارایی» واقعاً به صورت نرمال است؟ قیمت‌های بازار قراردادهای اختیار معامله تا چه حد به قیمت‌های پیش بینی شده با بهره گرفتن از مدل بلک- شولز نزدیک هستند؟ آیا واقعاً معامله گران هنگام تعیین قیمت قرارداد اختیار معامله از مدل بلک- شولز استفاده می‌کنند؟ چه تحقیقاتی در زمینه‌ی آزمون اعتبار و روایی فرمول بلک- شولز انجام شده است؟
شکل (۳-۱) را در نظر بگیرید:
شکل(۳-۱)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم وبازدهی یکسان. آیا قابل تشخیص هستند؟[۲۴]
یکی از نمودارهای در این شکل، قیمت سهام را برای شرکت ، از بورس بین ژانویه‌ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ نشان می‌دهد و نمودار دیگر، یک مسیر نمونه‌ای از یک حرکت براونی با میانگین نوسانات مشابه همان دوره را نشان می‌دهد. همان طور که دیده می‌شود، قیمت سهام شبیه مسیر نمونه‌ای حرکت براونی است. در واقع نمی‌توان دو نمودار را از یکدیگر تمیز داد.
یکی از خاصیت های مهم حرکت براونی، پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای آن است. یا به عبارت دیگر یک مسیر نمونه‌ای ، یک تابع پیوسته از زمان است. حال یک دوره ی زمانی کوچکتر از دو نمودار در شکل(۳-۱) را در نظر بگیریم. شکل(۳-۲) این فرم را برای یک دوره‌ی ۳ ماهه نشان می‌دهد.
شکل (۳-۲)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی تا مارس ۱۹۹۳ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم و بازدهی یکسان.[۲۴]
با بهره گرفتن از خاصیت پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای حرکت براونی، می‌توان قیمت سهام و مسیر نمونه‌ای حرکت براونی را در شکل (۳-۲) تشخیص داد. در واقع قیمت سهام دارای چندین پرش ناگهانی است. در بررسی رفتار قیمت سهام، تحلیل گران در بیشتر مواقع بازه‌ی زمانی را روزانه یا به صورت هفتگی در نظر می‌گیرند. پس می‌توان گفت که مدل قیمت سهام از یک الگوی حرکت براونی تبعیت نمی‌کند. البته در مدل بلک- شولز نوسانات آنی^[۵۲] می‌توانند بر روی قیمت سهام موثر باشند که می‌توان این نوسانات را به وسیله‌ی یک تابع تلاطم موضعی^[۵۳] به دست آورد. مطالعات تجربی نشان داده‌اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده‌ای از محققین مدل‌های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده‌اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می‌گیرد.
در واقع مدل زیر توسط دوپایر^[۵۴][۳۳]، درمان و کانی^[۵۵][۳۰] برای قیمت سهام پیشنهاد شده است:
همان طور که گفته شد، می‌توان (تلاطم ضمنی) را با فرایندهای تصادفی گوناگون جایگزین کرد. برای جزئیات بیشتر به فصل ۱۵ [۲۴] مراجعه شود.
مدل های تجربی نشان می‌دهند که قیمت سهام یا بازدهی آن ها دارای پرش و ناپیوسته هستند و همچنین مشاهده رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در واقع ژمن^[۵۶]، مدان^[۵۷] و یور^[۵۸] [۱۹] این مطلب را چنین توجیه کرده‌اند که این جایگزینی طبیعی است از این جهت که، با توجه به تجزیه‌ی لوی-ایتو، جمله‌ی ، متناظر با «پرش های کوچک»، توصیف کننده‌ی تغییرات و تلاطم‌های کوچک روزانه در قیمت سهام است، در حالی که جمله‌ی  متناظر با «پرش های بزرگ» ، الگویی برای آثار حوادث شدید اجتماعی، سیاسی و اقتصادی بر بازارهای مالی است. با کنار گذاردن حرکت براونی، گستره‌ی وسیعی از فرایندهای لوی وجود دارند که از بین آن ها می‌‌توان مدلی را انتخاب کرد. این انتخاب باید مناسب و به صورتی انجام گیرد که ما را قادر به استخراج فرمول‌هایی کند که تحلیل گران بازارهای مالی بتوانند آن ها را برای محاسبه‌ی قیمت سهام به کار برند.
۳-۳-۱ مدل های لوی نمایی همان طور که در بخش ۳-۲ بیان شد، در مدل بلک-شولز، فرایند قیمت سهام به صورت زیر است:
که می تواند به صورت معادل زیر نوشته شود:
در قسمت قبل مشاهده شد، مطالعات تجربی، مدل قیمت سهام از یک حرکت براونی تبعیت نمی کند. بنابراین می توان به جای حرکت براونی از یک فرایند لوی استفاده کرد. پس به جای معادله ی (۷) می توان از معادله ی دیفرانسیل تصادفی^[۵۹] زیر استفاده کرد:
یا این که از نمای معمولی^[۶۰]
استفاده کرد. نماد برای معادله ی دیفرانسیل تصادفی و نماد برای نمای معمولی به کار گرفته شده اند. علت انجام این عمل، این است که بر خلاف حرکت براونی با هم تفاوت دارند. حال اگر فرایندهای (۸) و (۹)، با فرایند تنزیل داده شوند (یا به طور معادل ) داریم:
با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو (پیوست الف-۳)، جواب معادله ی (۱۰) با شرط اولیه ی ، به صورت زیر به دست می آید (قضیه ی ۸٫۲۱ [۲۴]):
معادله ی بالا نمای تصادفی^[۶۱] نامیده می شود. با اعمال شرط جواب معادله ی بالا مثبت می شود (زیرا قیمت سهام نمی تواند منفی باشد) بنابراین با اعمال این شرط معادلات (۱۰) و (۱۱) معادل هستند (فصل ۸ [۲۴]).
برای ارزش گذاری اختیارمعاملات تحت مدل های لوی نمایی، بایستی اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی » را رعایت کرد. پس در این قسمت به دنبال پیدا کردن اندازه ی ریسک-خنثی می باشیم به طوری که امید تنزیل یافته ی تابع جبرانیه، تحت این اندازه، مارتینگل شود.
۳-۳-۲ تعریف(بازار کامل^[۶۲]): یک بازار «کامل» نامیده می شود، هرگاه هر مشتق مالی بتواند با معامله روی دارایی بنیادین(پایه) مربوط به مشتق مالی و سپرده گذاری در بازار پول، بدون این که تا زمان سررسید قرارداد نیازی به تزریق سرمایه از بیرون باشد، جبران شود.[۸و۲۴]
در یک بازار کامل هر مشتق مالی دارای ارزش منحصربه فردی است که وجود آربیتراژ را نفی می کند.(قضیه ۳-۲-۶)
۳-۳-۳ قضیه(دومین قضیه ی اساسی ارزش گذاری دارایی): یک بازار بدون آربیتراژ کامل است، اگر وتنها اگر، یک اندازه ی احتمال منحصر به فرد ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود داشته باشد به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته ی دارایی نسبت به آن مارتینگل باشد.[۸و۲۴] و(پیوست الف)
۳-۳-۴ تعریف(بازار ناکامل^[۶۳]): اگر وجود داشته باشد، اما منحصر به فرد نباشد، بازار «ناکامل» نامیده می شود.[۸و۲۴]
برای ارزش گذاری مشتقات مالی (اختیارمعاملات) نیاز به اندازه ی مارتینگل داریم. وقتی که بازار کامل باشد، این اندازه منحصر به فرد و برای هر مشتق مالی یک ارزش منحصربه فرد به دست می آید. این اندازه ی مارتینگل، برای دو فرایند پواسون و براونی منحصر به فرد است، یعنی بازار در این دو حالت کامل است.[۸]. اما در سایر فرایندهای لوی ثابت می شود (فصل ۸ [۲۴]) بازار ناکامل است، بنابراین این اندازه منحصر به فرد نیست. پس هر سرمایه گذار می تواند بر اساس معیارهای خود، این اندازه را پیدا کند و ارزش مشتق مالی را بر اساس آن به دست آورد. یعنی هر سرمایه گذار بسته به معیار خود حاضر است بهایی را برای یک مشتق مالی خاص بپردازد، که می تواند با ارزش مورد انتخاب سرمایه گذاران دیگر متفاوت باشد. در ادامه چند روش متفاوت را برای به دست آوردن این اندازه بیان می کنیم، که برای جزئیات بیشتر می توان به(فصول ۹و۱۰ [۲۴]) و (پیوست الف -۳) مراجعه کرد:
۱) اندازه ی مینیمال فولمر-اسشویزر^[۶۴] [۲۴]
۲) تبدیل اشر^[۶۵] [۲۴]
۳) بیشینه کردن مطلوبیت^[۶۶] [۲۴].
۳-۳-۵ ارزش گذاری اختیارمعامله: فضای احتمال را در نظر می گیریم که در آن حرکت ارزش یک دارایی، ،دارای مدل لوی نمایی است:
جایی که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی () است. بنابر قسمت قبل، اگر هیچ فرصت آربیتراژی وجود نداشته باشد، آن گاه اندازه ی مارتینگل، ، معادل با اندازه احتمال (اندازه ی احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند تنزیل یافته ی تحت این اندازه (اندازه ی ریسک-خنثی) مارتینگل است.طبق قضیه ی ۲-۳-۱ این معادل است با
که
با توجه به ۳-۲-۳ ، ارزش اختیار معامله برابر است با امید شرطی تنزیل یافته از تابع جبرانی آن اختیار معامله، تحت اندازه ی ریسک-خنثی . اگر تابع جبرانیه ی اختیار معامله باشد، آن گاه ارزش این اختیار معامله برابر است با:
با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۲-۲ داریم:
با تغییر متغیر و و تعریف و داریم
با توجه به خاصیت (۲) فرایند های لوی و قاعده ی ۳ امید شرطی داریم:

با بهره گرفتن از تعریف ، وجایگزین کردن با داریم:
اگر تعریف کنیم ، آن گاه
اگر در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک باشد یا به عبارت دیگر مشتقات اول و دوم موجود و پیوسته باشند، آن گاه با بهره گرفتن از نتیجه ی ۲-۲-۱۱ می توان نسبت به مشتق گرفت، بنابراین
که درآن