که  یک تابع اختیاری و  تابع چگالی احتمال است. در این صورت داریم :

اگر این امکان وجود داشته باشد که مقادیر  را با تابع چگالی  نمونه‌گیری نماییم در این صورت با ارزیابی  در  نقطه و میانگین‌گیری از  ها می‌توان تخمین مونت‌کارلو(  ) را تخمین زد.

که انحراف معیار استاندارد آن به صورت زیر تعریف می‌شود:

بنابراین در روش مونت‌کارلو به دنبال تقریب انتگرال ‌(  ) یا یافتن مجموع (  ) می‌باشیم.

حال اگر  روی بازه  انتگرال‌پذیر باشد بنابراین با بهره گرفتن از قانون اعداد بزرگ داریم:

یا اینکه  با احتمال یک رخ می‌دهد و  به صورت تقریبی دارای توریع نرمال با میانگین صفر و انحراف معیار  خواهد بود.که  یک ویژگی مهم از روش مونت‌کارلو است.
در روش مونت‌کارلو می‌توان با بهره گرفتن از تکنیک‌های کاهش واریانس به تخمین‌های کاراتر دست یافت.
تکنیک کاهش واریانس
در این بخش ابتدا تکنیک کاهش واریانس بحث می‌شود در ادامه دو مثال مهم از تکنیک‌های کاهش واریانس بحث می‌شوند که شامل متغیره‌های کنترلی^[۷۹] و متغیره‌های نامتقارن^[۸۰] می‌باشد.
کاهش واریانس و بهبود کارایی:
فرض کنید که هدف تخمین قیمت مشتقات  است. معادله ‏(۲-۹۰) یک تخمین‌زن از  مبتنی بر روش مونت‌کارلو فراهم می‌نمائید و انحراف معیار تخمین زدن معادل  است. فرض کنید که اکنون دو تخمین‌زن  و  با انحراف معیار‌های  و  داشته باشیم که  است.
روش متغیره‌های کنترلی:
این روش پرکاربرد‌ترین روش و آسان‌ترین روش در استفاده و موثرترین روش در کاهش واریانس است. این روش برای کاهش خطاها در تخمین مقدار نامعلوم، از اطلاعات خطاها در تخمین مقادیر معلوم استفاده می کند. فرض کنید که می‌خواهیم قیمت مشتقات  را تخمین بزنیم. تخمین‌زن مونت‌کارلو از  مقدار  ،  ، … و  با توزیع نرمال و مستقل معادل با  است. اکنون فرض نمایید که برای هر تکرار‌^[۸۱] ممکن است که خروجی دیگری (  ) همراه با  محاسبه شود که زوج  برای هر  دارای توزیع‌های مستقل و یکسان هستند و فرض نمایید که  معلوم است. بنابراین برای هر  ثابت و تکرار  می‌توان مقدار  را به صورت زیر محاسبه نمود.

تخمین زدن مونت‌کارلو از متغیره‌های کنترلی به صورت زیر نوشته می‌شود

و خطای مشاهده شده  برای کنترل تخمین  استفاده می‌شود تخمین‌زن متغیره‌های کنترلی ‏(۲-۹۳) ناریب و سازگار است (Glasserman). واریانس هر تکرار  به صورت زیر نوشته می‌شود

که  ضریب همبستگی بین  و  است. مقایسه بین واریانس تخمین‌زن متغیره‌های کنترلی  و واریانس تخمین‌زن معمولی مونت‌کارلو  ‌می‌توان استباط نمود که تخمین‌زن متغیره‌های کنترلی  دارای واریانس کوچکتری نسبت به تخمین‌زن استاندارد  است. اگر  باشد.
از حداقل‌سازی واریانس در ‏(۲-۹۴) نسبت به  ، ضریب بهینه (  ) معادل است با:

از جایگزینی  در ‏(۲-۹۴) و مرتب‌سازی آن، امکان یافتن نسبت واریانس تخمین‌زن کنترل‌شده به صورت بهینه از یک تخمین زن غیر کنترلی فراهم می‌شود:

تعدادی از ویژگی‌های مهم روش متغیره‌های کنترلی را از معادله ‏(۲-۹۶) می‌توان مشاهده کرد.
اول اینکه با ضریب بهینه  کارایی یک متغیره کنترلی توسط اندازه همبستگی میان  و  تعیین ‌می‌شود. دوماّ اگر تلاش محاسباتی مورد نیاز هر تکرار تقریبا یکسان با متغیر کنترلی یا بدون متغیر کنترلی باشد در این صورت معادله ‏(۲-۹۶) بهبود محاسباتی از استفاده یک متغیر کنترلی را اندازه‌گیری ‌می کند. مخصوصا  تکرار از  جهت رسیدن به واریانس یکسان از  تکرار تخمین‌زن متغیر کنترلی نیاز هستند. سوم اینکه، فاکتور کاهش واریانس  خیلی شدید افزایش ‌می‌یابد وقتی که  به یک نزدیک می‌شود.
در عمل زمانی که  نامعلوم است  و  نیز ناشناخته خواهند بود بنابراین در محاسبه ضریب بهینه  ایجاد مشکل ‌می‌نمایند. اما با جایگیزینی پارامترهای جمعیت در ‏(۲-۹۵) با با نمونه‌های نزدیک به آنها تخمین زیر بدست می‌آید:

تغییرات نامتقارن:
این روش نیز یکی از پرکاربردترین و آسانترین تکنیک در مسله قیمت‌گذاری اختیارات مالی است(Glasserman). این روش تلاش می کند که واریانس تخمین‌زن را با معرفی وابستگی منفی میان زوج تکرارها کاهش دهد. یک مشاهده مرکزی^[۸۲] است اگر یک متغیر تصادفی  دارای توزیع یکنواخت روی  باشد، انگاه  نیز دارای توزیع یکنواخت روی  باشد. بنابراین اگر مسیرهای تولید‌شده با بهره گرفتن از ورودی‌های  ،  ، … و  باشند بنابراین می‌توان بدون تغییر در قانون فرایند شبیه‌سازی مسیرهای اضافی را با بهره گرفتن از  ،  ، … و  تولید نمود.
با ترکیب متغییرهای  برای  می‌توان زوج‌های نامتقارن را ساخت به نحوی که مقدار کوچک یکی از آنها با مقدار بزرگ دیگری دنبال شود. این مشاهدات را می‌توان توسط سایر توزیع‌ها مانند توزیع نرمال نیز ساخت. برای مثال اگر  ،  ، … و  دارای توزیع نرمال یکسان و مستقل با میانگین صفر و واریانس یک باشند در این صورت  ،  ، … و  نیز دارای توزیع نرمال یکسان و مستقل با میانگین صفر و واریانس یک می‌باشند بنابراین اگر  ‌ها برای شبیه‌سازی نموهای مسیر برآونی استفاده شوند آنگاه  ها نیز نموهای انعکاسی از مسیر برآونی حول مبدا (اصل) را شبیه‌سازی می‌نمایند.
برای آنالیز کاهش واریانس ایجاد شده توسط این روش تصور نماید که بایستی  تخمین بزنیم و انکه با بهره گرفتن از نمونه‌گیری نامتقارن یکسری زوج از مشاهدات  ، … و  تولید نموده‌ایم. فرایند، خواص زیر را ارائه می‌دهد:
۱-زوجهای  ، … و  به صورت مستقل و یکسان توریع شده اند.
۲-برای هر  ،  و  دارای توزیع یکسان هستند اما مستقل نیستند.
تخمین‌زن‌ها متغیره‌های نامتقارن به صورت زیر تعریف می‌شوند:

تئوری حد مرکزی نشان می‌دهد که

که  است همانند تخمین زن مونت کارلو حد مرکزی برقرار است اگر انحراف معیار جمعیت را با انحراف معیار نمونه با  مقدار جایگزین نماییم. بنابراین ‌می‌توان بازه اطمینان  به صورت زیر نوشت:

برای مقایسه تخمین‌زن متغیره‌های نا‌متقارن با تخمین‌زن مونت‌کارلو بایستی واریانس  را با واریانس تخمین‌زن مونت‌کارلو مبنتی بر  تکرار مستقل مقایسه نماییم. در عمل تخمین‌زن متغیره‌های نامتقارن واریانس را کاهش می‌دهد اگر:

یا

یک شرط کافی که نامساوی فوق را تضمین می‌نمایید یکنوایی تابع نگاشت از ورودی به خروجی تعریف شده در الگوریتم است. بنابراین اگر  یک تابع افزایشی باشد بنابراین  یک تابع کاهشی از  خواهد بود.
الگوریتم مونت کارلو برای قیمت‌گذاری اختیارات امریکایی
در این بخش چندین روش مورد استفاده در مسئله قیمت‌گذاری اختارات امریکایی با بهره گرفتن از شبیه‌سازی ارائه می‌شوند. روش‌ها در محدودیتی که آنها روی تعداد فرصت‌های اعمال اختیار انجام می‌دهند متفاوت هستند. تفاوت دیگر در اطلاعاتی که آنها درباره فرایند‌های مورد نظر ضروری می‌دانند، می‌باشد در نهایت در درجه‌ای که آنها برای محاسبه قیمت دقیق تلاش می‌کنند متفاوت می‌باشند.
موضوع مهمی را که در ادامه بحث خواهیم نمود تحلیل منابع اریب بالا و پایین است که همه روش‌های قیمت‌گذاری اختیارات آمریکایی توسط شبیه‌سازی را تحت تاثیر قرار می‌دهند. اریب بالا نتیجه اطلاعاتی درباره تصمیمات اعمال در آینده است. این مسئله نتیجه به کارگیری استقرایی عقب‌گرد برای شبیه‌سازی مسیر است. اریب پایین در نتیجه اعمال یک استراتژی زیر بهینه است. در بعضی از روش‌ها دو منبع اریب ترکیب می‌شوند. در بحث روش‌های شبیه سازی و قیمت‌گذاری اختیارات آمریکایی توجهمان را به اختیاراتی که تنها در یک مجموعه ثابت از فرصت‌های اعمال  محدود می‌نمائیم.