برای هر درجه‏ی آزادی، دیسک واقع بر نیم‏فضا (پی صلب بدون جرم) به صورت یک مخروط ناقص نیمه‏بی‏نهایت با نسبت ظاهری z₀/r₀ خود ایده‏آل‏سازی می‏شود. این مسئله در شکل ۳-۴ نشان داده ‏شده است. مطابقت دادن ضریب سختی استاتیکی مخروط با مقدار دقیق متناظر آن برای دیسک واقع بر محیط نیمه‏بی‏نهایت، نسبت ظاهری z₀/r₀ و بنابراین میزان بازشدگی را تعیین می‏کند. بسته به طبیعت تغییرشکل لازم است بین مخروط انتقالی برای حرکت قائم و افقی و مخروط دورانی برای حرکت پیچشی و گهواره‏ای تمایز قائل شد.

شکل ‏۳‑۴: مخروط‏ها برای درجات آزادی مختلف [۲۸]
مدل مخروط انتقالی
یک پی سطحی قرار گرفته بر روی محیط نیمه‏بی‏نهایت الاستیک به شعاع r₀ با مدول برشی G، نسبت پواسون ν، جرم حجمی ρ و نسبت میرایی هیسترتیک^[۴۶] ξ به‏صورت یک مخروط انتقالی نیمه‏بی‏نهایت ناقص (یک‏طرفه) با همان مشخصات محیط نیمه بی‏نهایت خاک مدل‏سازی می‏شود. دراین بخش هدف به‏دست آوردن سختی دینامیکی پی سطحی برای درجه‏ی آزادی قائم است.
درجه‏ی آزادی قائم
درجه‏ی آزادی قائم مطابق شکل ۳-۵-الف بررسی می‏شود. یک بار قائم با دامنه‏ی P₀(ω) به دیسک (پی صلب بدون جرم) اعمال شده که منجر به تغییرمکان قائم دیسک با دامنه‏ی u₀(ω) می‏شود. انتشار موج رو به پایین با دامنه‏ی u(z,ω) باید تعیین گردد. در مخروط نمایش‏دهنده‏ی یک میله با افزایش مساحت با عمق z (اندازه‏گیری شده از راس) به‏صورت زیر معرفی می‏شود:

(‏۳‑۴)

(که در آنA₀=πr² ). در این مخروط کرنش‏های محوری وجود دارد و مقاطع صفحه‏ای به صورت صفحه باقی می‏مانند.
شکل ‏۳‑۵: دیسک واقع بر سطح نیمه بی‏نهایت همگن. الف) مخروط ناقص نیمه بی‏نهایت برای حرکت قائم ب) مدل پارامتر متمرکز [۲۸]
تحریک هارمونیک با دامنه‏ی مختلط به‏صورت زیر مفروض است:

(‏۳‑۵)

(‏۳‑۶)

از اعمال معادله‏ی تعادل در جهت قائم بر روی المان نشان داده شده در شکل به‏صورت زیر می‏باشد:

(‏۳‑۷)

دامنه‏ی نیروی قائم و معادله‏ی آخر نیروی اینرسی است که به‏‏صورت حاصل‏ضرب جرم المان در شتاب در جهت منفی z محاسبه شده است.
رابطه‏ی نیروی قائم-تغییر‏مکان با اعوجاج محوری با دامنه به‏صورت زیر می‏باشد:

(‏۳‑۸)