شکل۱-۴- شکل نحوه­ مش بندی روش تفاضل محدود

شکل ۱-۵- طرحی از مدل تفاضل محدود ۵ نقطه­ای
با اعمال شرایط مرزی و حل معادلات جبری مقادیر تابع در تمام نقاط بدست می ­آید.معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرسوم، از یکسری مش­های منظم مستطیلی استفاده می­ کند.با بهره گرفتن از طرح استاندارد روش تفاضل محدودکه طرح تفاضل ۵ نقطه­ای نامیده می­شودمعادله روش تفاضل محدود حاصله در نقطه (i,j) به صورت ترکیبی از مقادیر تابع در ۴ نقطه مجاورش نوشته می­ شود. برای یک معادله تعادل برای مصالح الاستیک در فضای ۲ بعدی معادلات تعادل تفاضل محدوددر نقطه (i,j) مطابق زیر است.
دانلود پایان نامه
۱-۱  ۲-۲
در جایی که ضرایب  و  توابعی از مشخصات الاستیک جسم و بازه­های x∆،y∆ و  و  نیروهای گرانشی در نقطه (i,j) می­باشند.با گردآوری کلیه معادلات برای تمام نقاط به یک سیستم از معادلات جبری می­رسیم که می­توانیم به روش مستقیم یا سعی و خطا حل کنیم.این طرح را برای بازه­های زمانی  ، نیز می­توانیم انجام دهیم. به اینصورت مقادیر تابع در زمان t را به وسیله مقادیر بدست آمده در t- بدست می­آوریم.
همانطور که قبلاً اشاره کردیم اساس روش تفاضل محدود بر اساس تبدیل معادلات مشتقات جزئی به یکسری معادلات جبری از طریق جایگزینی مشتقات با تفاضلات نقاط مجاور آن می­باشد. سیستم شبکه­بندی مستطیلی یک روش مرسوم می­باشد. البته هر چه بازه­ها کوچکتر باشد خطاها نیز کمتر می­ شود. لازم به ذکر است که در این روش ما هیچگونه تابع شکل[۲۲] برای تقریب معادلات مشتقات جزئی در نقاط مجاور، مانند آنچه در روش اجزای محدود و یا روش اجزای مرزی به کار گرفته می­ شود، نداریم. در نتیجه می­ شود گفت که این روش مستقیم تر و قابل درک­تر می­باشد.
روش تفاضل محدود با شبکه مستطیلی یکسان و یک اندازه، دارای نواقصی نیز می­باشد که از آن جمله می­توان به ناتوانی در مدل کردن درزه­ها،شرایط مرزی پیچیده و مصالح ناهمگن اشاره کرد.در نتیجه در مکانیک سنگ اجرایی، ناکارآمد می­باشد. اگر چه با بهره گرفتن از شبکه ­های نامنظم(چهار ضلعی) می­توان تا حدودی این نقیصه را برطرف کرد.
از مهمترین نرم­افزارهای تجاری موجود در زمینه­ تونل که بر اساس این روش عمل می­ کنند می­توان بهFlac 2D و Flac 3D اشاره کرد.

۱-۴-۲- روش اجزای محدود:

اگرچه بحث اصلی تقسیم بندی یک حوضه توسط کارانت[۲۳] (۱۹۴۳) وپراگر[۲۴](۱۹۴۷) آغاز گردید اما کار بنیادی در زمینه روش اجزای محدودتوسط تورنر[۲۵] (۱۹۵۶) وقتی که المان­های مثلثی برای آنالیز سازه­ها ابداع گردیدند، انجام شد. اولین بار روش اجزای محدود برای مسائل کرنش صفحه­ای بکار گرفته شد. آرگاریس[۲۶](۱۹۶۰) روش ماتریسی را برای آنالیز سازه­ها با بهره گرفتن از رابطه تغییر مکان ونیرو بر مبنای اصل کار مجازی ارائه داد. این روش به سرعت مورد قبول واقع شد و در خیلی از زمینه ­های مهندسی و و علوم مورد استفاده قرار گرفت.
اندازه وشکل المان­های موردنظر، به میزان دقت مورد نیاز ما از این تحلیل بستگی دارد.این روش پرطرفدارترین روش عددی در علوم مهندسی از جمله مکانیک سنگ و مهندسی تونل می­باشد. مقبولیت این روش به خاطر انعطاف و توانایی آن در مقابل ناهمگنی و ناهمسانی مواد،شرایط مرزی پیچیده،درزه­هاو مسائل دینامیکی می­باشد. تمام ابن مزیت­ها باعث شد که این روش در حدود سال ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۰ یعنی زمانی که روش عددی اصلی تفاضل محدود بود،گسترش یابد.
المان­ اتصال گودمن[۲۷] شناخته­شده­ترین المان­ها در مقالات مکانیک سنگ و پرکاربردترین در برنامه ­های اجزای محدود و مسائل اجرایی می­باشد. ضخامت صفر المان گودمن سبب شرایط نامرغوب[۲۸] که ناشی ازمقدار زیاد نسبت ابعاد المان به هم می­باشد، می­گردید.البته این ایراد به مرور زمان و توسط المان­های بهبود یافته برطرف گردید.
مش­بندی فضاهایی با سازه­های داخلی پیچیده و مرزهای خارجی پیچیده­تر، یک کار طاقت فرسا برای مسائل اجرایی خواهد بود. مسئله بحرانی­تر خواهد شد وقتی با مسائل سه بعدی و هندسه پیچیده سروکار داشته باشیم. در دهه اخیر تلاش­ های زیادی بعنوان “روش کاهش­مش[۲۹]” برای کم کردن این سختی­ها انجام گرفته است. در این روش، trial functions با شکل استاندارد خود فرقی نمی­کنند، فقط از نقاط مجاور خود با یک حوضه تاثیر بوسیله­ی تقریب­های مختلف، مانند روش­ حداقل مربعات، ایجاد شده ­اند]۹[.
با تمام این تلاش­ها رفتار شناسی گسیختگی و رشد ترک­ها و درز­ها،بزرگترین مانع در مسیر استفاده از روش اجزای محدود در مکانیک سنگ و مهندسی تونل بود. هنگام شبیه­سازی روند توسعه گسیختگی، روش اجزای محدودناچار به استفاده از مش­های ریز می­باشد. این ایراد باعث شد روش اجزای محدود در برابر مسائل گسیختگی سنگ­های درزه­دار، از اثر کمتری نسبت به روش اجزای مرزی برخوردار باشد. با این وجود، الگوریتم­های خاصی برای غلبه بر این نقص­ها، مانند تابع­های شکل ناپیوسته برای مدل­سازی مجازی شروع و توسعه ترک­های گسیختگی در روش اجزای محدودتکامل یافته، پدیدار شده ­اند.
به طور کل برای یک آنالیز اجزای محدود سه مرحله مورد نیاز است :
۱-­ تقسیم ­بندی حوضه
۲-­ تقریبات محلی(المانی)
۳- گردآوری و حل معادله ماتریس کلی
مرحله تقسیم بندی حوضه یا همان مش­بندی شامل تقسیم حوضه یا همان جسم مربوطه به تعدادی المان­های محدود داخلی با شکل­های مشخص(مثلاً المان مثلثی سه نقطه­ای برای حالت ۲ بعدی و یا المان مکعب مستطیلی برای ۳ بعدی) و تعداد معینی گره می­باشد.یک فرض خیلی اساسی در اجزای محدود این است که تابع ناشناخته و غیر معلوم  روی هر المان می ­تواند به صورت یکسری توابع آزمایشی از مقادیر گرهی تابع مجهول و نامعلوم ما،  ،در فرم چند جمله­ای تخمین زده شود.این توابع آزمایشی باید بتوانند معادله حاکمرا ارضا کنند وبه صورت زیر نوشته می­شوند.
۱-۳ می­ شود.N تابع شکل می­باشد وMدر جایی که
با بهره گرفتن از این فرض می­توانیم معادلات جبری مطابق زیر جایگزین کنیم.
۱-۴
در جایی که  بردار مقادیر گرهی وترکیبی از نیروهای وزنی و شرایط ابتدایی می­باشد. بردار  بردار مقادیر گرهی از متغیر ناشناخته می­باشد. ماتریس  ماتریس سختی عضو می­باشد.  توسط رابطه ۱-۵ محاسبه می­ شود.
۱-۵
در جایی که ماتریس  ماتریس الاستیک و  ماتریس هندسی رابط بین تنش و کرنش می­باشد.ماتریس سختی کلی و ماتریس الاستیک هر دو متقارن می­باشند.یکی از کاربرد­های عمومی روش اجزای محدود در مواد ناهمگن است که هر قسمت از ماده دارای خواص مخصوص به خود است، در هر منطقه مشخصات مواد را به المان­های همان منطقه منتقل می­کنیم. البته این نکته نیز مهم است که درجه تابع شکل در ۲ المان مجاور هم باید یکسان باشد تا ناپیوستگی تغییر مکان در لبه بین ۲ المان بوجود نیاید]۱۰[.

۱-۴-۲-۱-روش­های مش­بندی:

در این قسمت لازم است برای درک بهتر روش اجزای محدود، توضیحاتی در مورد مش­بندی یک حوضه داده شود. روش اجزای محدود یکسری نواقص مخصوصاًدر بحث اثر قفل شدگی[۳۰] و بحث­های مرتبط با نحوه­ مش­بندی نیز دارد.
دو نوع اثر قفل شدگی درروش اجزای محدودداریم:قفل شدگی عددی و قفل شدگی عضو.قفل شدگی عددی پدیده­ای است که در آن تقریب عددی در حدود بعضی از مشخصات ماده یا در هندسه خاص با مشکل مواجه می­ شود. مثال­های معمول آن ضریب پواسون برای مسائل الاستیک، زمانی که این ضریب برابر ۰.۵ شود و همچنین قفل شدگی برشی برای پوسته­ها و صفحات، زمانی که ضخامت آنها بسیار کم شود، می­باشد.
قفل شدگی المانی یک ناپایداری عددی به خاطر اعوجاج در مش می­باشد،مانند هنگامی که المانهایی با نسبت ابعاد زیاد تحت تاثیر بارهای متمرکز دینامیکی قرار گیرند.مش­بندی یک خواسته مهم در روش اجزای محدود برای مسائل اجرایی در سازه­های پیچیده و شرایط مرزی پیچیده­تر می­باشد.مش­بندی باید به اندازه کافی ریز باشد تا تمام سطح شکل را بتواند به خوبی بپوشاند و از طرفی نتایجی با دقت بالا و همگرایی خوب و از همه مهمتر در یک زمان مناسب و اقتصادی ارائه دهد.مسئله هنگامی که با هندسه ۳ بعدی روبرو می­شویم، پیچیده­تر می­ شود.همانطور که گفتیم این روش پرطرفدارترین روش و رو به گسترش­ترین روش برای آینده می­باشد.انعطاف­پذیری در برخورد با مواد ناهمگن و غیر خطی وهم چنین اقتصادی بودن در پروژه­ های بزرگ و کوچک،از مهم­ترین برتری­های این روش می­باشد.گرچه یکی از برتری­های روش اجزای محدود یعنی قدرت مدل کردن سنگ های درزه­ دار در روش اجزای مرزی به نحوی بهتر قابل مدل کردن می­باشد، اما در کل این روش بسیار پرطرفدارتر می­باشد]۱۱[ و ]۲۴[.
۱-۴-۳- روش اجزای مرزی:
برخلاف روش­های اجزای محدودوتفاضل محدود در روش اجزای مرزی ما از همان ابتدا به دنبال حل در فرم ضعیف در سطح کلی و به صورت انتگرالی بر پایه تئوری­های بتی[۳۱] وسمی­گلیانا[۳۲]می­باشیم. معادله برای یک مسئله الاستیک با محدوده  و مرز  و بردار واحد خارجی عمود بر آن،ونیروی وزنی ثابت  برای مثال انتگرال، بصورت زیر می­باشد.
۱-۶
در جایی که  و  بردارهای تغییر مکان و نیروهای خارجی بر روی مرز  و  و  هسته­های تغییر مکان و نیرو نامیده می­شوند. ترم  ترم آزاد تعیین شده به­وسیله­ هندسه موضعی سطوح مرزی می­باشد.  وقتی که نقاط زمینه داخل حوضه  باشند.
حل انتگرال نیازمند مراحل زیر است:
۱-­تقسیم مرز  به یک تعداد مشخص از از المان­­­ها. برای مثال در مسائل ۲ بعدی، المان­ها، خطوط یک بعدی می­باشند که ممکن است یک نقطه در وسط هر المان باشد(المان­های ثابت)، دو نقطه در دو انتهای المان(المان خطی)، یا سه نقطه که دو تا در دو انتها و یکی در وسط المان(المان­های درجه دو) می­باشد. اجازه دهید تعداد المان­ها را با N نشان داده و انتگرال را دوباره بصورت جمع انتگرال­های موضعی روی کل المان­ها نشان دهیم.
۱-۷ ۲-­ تقریب توابع در المان­های مرزی بوسیله­ی تابع شکل دقیقاً شبیه روش انجام شده در روش اجزای محدود است. تفاوت در اینجاست که در مسائل روش اجزای مرزیدو بعدی از تابع شکل ۱ بعدی در سیستم مختصات طبیعی  و در مسائل ۳ بعدی از توابع شکل ۲ بعدی در سیستم مختصات طبیعی  و  استفاده می­کنیم. توابع تغییر شکل و نیرو در هر المان بصورت جمع مقادیر گرهی­ آنها ارائه می­ شود.
۱-۸  ۱-۹
در جایی که m درجه المان می­باشد(برای مثال ۱،۲ یا ۳ برای ۲ بعدی) و  و  مقادیر نیرو و تغییر مکان گره k می­باشد.
با جایگزینی معادله ۱-۸ در ۱-۹ و با تعاریف

۱- ۱۰
معادله ۱-۶ را می­توانیم بصورت فرم ماتریسی زیر بنویسیم
۱-۱۱
در جایی که۱،۲i,j= برای حالت دو بعدی و۱،۲،۳ i,j=برای مسائل ۳ بعدی و l,k=1,2,…,N
۱- ۱۲
۳- ­بدست آوردن انگرال­های  . البته حل تحلیلی برای بدست آوردن این انتگرال­ها خیلی کم و پیجیده می­باشد و بیشتر از روش عددی گوس استفاده می­ شود.
۴-­ با مشارکت دادن شرایط مرزی و حل با اعمال شرایط مرزی به فرم ماتریسی ساده شده زیر می­رسیم.
۱-۱۳
در جایی که بردار A ترکیبی از  ،  و بردارX بردار مجهولات ما که ترکیبی از نیروها و تغییر مکان­های مجهول می­باشد و  جمع نیروهای وزنی  و حاصلضرب  با مقادیر تغییر مکان­های معلوم و  با نیروهای معلوم می­باشند.البته گفتن این نکته لازم است که ماتریس­های معادله برعکس ماتریس­های حاصله از روش اجزای محدود که ماتریس­هایی متقارن و پراکنده بودند، ماتریس­هایی غیر متقارن و محصور می­باشند و این باعث می­ شود که برای حل رابطه ماتریسی روش­های زیادی را در اختیار نداشته باشیم. با حل رابطه ماتریسی مقادیر تغییر مکان و نیروهای مجهول در نقاط مرزی بدست می ­آید. بنابراین در تمام نقاط مرزی مقادیر تغییر مکان و نیرو را داریم.

برتری اصلی روش روش اجزای مرزی کاهش ابعاد مدل­های محاسباتی با مش­بندی ساده­تر در مقایسه با مش­بندی کل حوضه،کاری که درروش اجزای محدود وروش تفاضل محدود اتفاق می­افتد، می­باشد.با دقت مش­بندی یکسان با روش­های تفاضل محدودواجزای محدود ما به جواب­های دقیق­تری می­رسیم، آن هم به خاطر انتگرال­گیری مستقیم انجام شده می­باشد.بعلاوه حل در داخل حوضه و جسم پیوستگی بهتری نسبت به روش اجزای محدود و روش تفاضل محدود دارد. حوضه اصلی ما در این روش می ­تواند خود به چندین زیر حوضه با مشخصات مختلف تقسیم شود و این امر زمان محاسبات را کاهش می­دهد. با تمام این تفاسیر روش اجزای مرزی در مواجهه با مواد ناهمگن به کارایی روش اجزای محدود نیست زیرا این روش نمی­تواند تعداد زیادی زیر مجموعه مانند تعداد المان­ها درروش اجزای محدود داشته باشد. همچنین این روش در مدل کردن رفتار­های پلاستیک و غیر خطی زیاد انعطاف پذیر نیست. این روش بیشتر برای مدل کردن درزه­ها و ترک­ها در مواد همگن الاستیک مناسب می­باشد.

موضوعات: بدون موضوع  لینک ثابت


فرم در حال بارگذاری ...