Minimize

With respect to

Subject to

متغیر درگیر از i امین زیرسیستم به j امین زیرسیستم است.
روش CO نقاط قوت معنی‌داری را نسبت به روش‌های تک سطحی به نمایش می‌گذارد. زیرمساله­ها می‌توانند به کمک بهترین و مناسب‌ترین روش بهینه گردند. زیرمساله ها می‌توانند نسبتاً به‌آسانی اضافه شوند و یا ارتقا یابند[۱۸]. زیرا موضوعات مستقیماً با یکدیگر در ارتباط نیستند. به همین دلیل اضافه کردن یک موضوع نیاز به‌صرف زمان زیادی برای تغییر روند بهینه‌سازی ندارد. پس می‌توان گفت که این روش یک روش انعطاف‌پذیر است. همچنین تعداد زیادی از متغیرها می‌توانند در عین کارآمدی وارد محاسبات گردند. هر چه تعداد متغیرهای موضوعی افزایش یابد و تعداد متغیرهای درگیر کم شود، عملکرد این روش بهبود می‌یابد. از معایب روش CO می‌توان به عدم همگرایی آن در برخی مسائل اشاره کرد. در کل هر چه تعداد متغیرهای درگیر افزایش یابد کارایی این روش کم می‌شود. از دیگر ویژگی این روش، کاربرد آن در مراکز صنعتی است به این صورت که می‌توان هر زیرسیستم را در یک صنعت و به‌طور مستقل طراحی نمود به‌طوری‌که شاید فاصله این مراکز از یکدیگر چند صد کیلومتر باشد. همه این مراکز باید به یک مرکز متصل باشند تا عملیات بهینه‌سازی در سطح سیستم صورت پذیرد.

روش مشارکتی[۱۳]
روش بهینه‌سازی همزمان در زیرفضا
روش بهینه‌سازی همزمان در زیرفضا که به‌اختصار CSSO نامیده می‌شود، بر اساس منطق گسسته سازی سیستم شکل گرفته است. این منطق به زیرسیستم‌ها اجازه می‌دهد که به‌طور مستقل در روند بهینه‌سازی شرکت نمایند. مسئله کلی توسط یک بهینه‌ساز در سطح سیستم حل می‌شود. این بهینه‌ساز زیرسیستم‌های مختلف را هماهنگ می‌کند و در کل به دنبال ایجاد یک مصالحه بین نتایج مختلف پیشنهادی در سطح زیرسیستم‌ها است. از تخمین متغیرهای درگیر در زیرسیستم‌های مختلف برای بررسی تأثیر آن‌ها روی تابع هدف و همچنین قیود تساوی و قیود نامساوی استفاده می‌شود. به کمک این روش، هنگام اجرای بهینه‌سازی برای زیرسیستم‌ها، تأثیرات تغییر یک متغیر در یک زیرسیستم روی قیود سایر زیرسیستم‌ها آشکار می‌گردد‏ شکل۲-۸).
بهینه‌سازی همزمان در زیرفضا[۱۳]
مشخصه اصلی روش CSSO استفاده از مدل‌های تخمین موضوعی برای برآورد کردن تأثیرات متغیرها روی سایر موضوعات است. این مدل‌های تخمین یک بانک اطلاعاتی برای استفاده بهینه سازهای داخلی می‌سازند تا اهداف را بهینه کرده و قیود را برآورده سازند. به‌عبارت‌دیگر CSSO می‌تواند زمان انجام محاسبات را کاهش دهد. درعین‌حال کارآمدی این روش به‌شدت وابسته به مدل‌های تخمین متغیرهای درگیر است؛ یعنی در مسائل با مقیاس بزرگ، زمان موردنیاز برای ساختن این مدل‌ها، طولانی‌تر از زمان موردنیاز برای ذخیره آن‌ها به‌منظور استفاده از این متغیرها می­باشد. این ویژگی سبب شده است CSSO روش جذابی نسبت به روش‌های دیگر MDO نباشد.
روش ترکیب سیستم جامع دو مرحله‌ای
این روش یا همان BLISS اولین بار توسط سوبیژنسکی-سوبیسکی^[۳۱] ارائه شد. BLISS یک روش چند سطحی است که در یک بهینه‌ساز کلی در سطح سیستم و تعدادی بهینه‌ساز هم در سطح زیرسیستم قرار داده شده است. این روش بر اساس دیدگاه گرادیانی می‌باشد و سهم هرکدام از متغیرهای طراحی اشتراکی و فردی را در تابع هدف بهینه می‌کند (‏ شکل۲-۹).
ترکیب سیستم جامع دو مرحله‌ای[۱۳]
مزیت اصلی این روش جداسازی بهینه‌سازی سطح سیستم و بهینه‌سازی‌های مختلف در سطح زیرسیستم‌هاست. بنابراین استفاده از ابزارهای بهینه‌سازی خاص برای هر زیرسیستم ممکن خواهد بود. زیرا موضوعات به‌عنوان یک جعبه سیاه توسط بهینه‌ساز سیستم دیده می‌شوند و تنها منبع اطلاعاتی برای بهینه‌ساز سطح سیستم از این زیرسیستم‌ها، خروجی‌های زیرسیستم‌ها می‌باشند. روش BLISS مشابه سایر روش‌های گرادیان پایه، نیازمند متغیرهای بهینه‌سازی محدود می‌باشد. این به این معنی است که این روش در شرایطی که فضای جستجو خیلی بزرگ باشد یا ضعیف تعریف شده باشد قادر به همگرایی نخواهد بود. این روش برای مسائل با تعداد متغیرهای کم مناسب است و اگر گسسته سازی مسئله به‌خوبی صورت گرفته باشد، در زمان محدودی جواب را ارائه می‌کند.[۱۳]
روش‌های بهینه‌سازی
همان طور که ذکر شد در ساختار این شش روش، حضور بهینه ساز الزامی می باشد. الگوریتم های بهینه سازی مختلفی برای این منظور وجود دارند که بسته به نوع ساختار، هر کدام نقاط قوت و ضعفی را دارا هستند. برای بهینه‌سازی مسائل گوناگون روش‌های گوناگونی وجود دارد. برخی از این روش‌ها برای حل مسائل تک متغیره کاربرد دارند و برخی دیگر قادر به حل مسائل چند متغیره هستند. برخی تنها قادر به حل مسائل نامقید هستند و برخی می‌توانند مسائل مقید را تحلیل و حل نمایند. از مهم‌ترین روش‌های بهینه‌سازی می‌توان به الگوریتم ژنتیک، الگوریتم تبرید شبیه‌سازی‌شده، الگوریتم لانه مورچگان، الگوریتم مهاجرات پرندگان و روش سیمپلکس اشاره کرد. در ادامه به معرفی دو روش‌ استفاده‌شده در این پایان‌نامه می‌پردازیم.

الگوریتم ژنتیک
این الگوریتم در ابتدا با مجموعه‌ای از جواب‌های تصادفی(کروموزوم) که به آن جمعیت اولیه گفته می‌شود، آغاز و سپس مقدار شایستگی هر کروموزوم با توجه به تابع شایستگی تعیین می‌گردد. کروموزوم‌های با شایستگی بالاتر شانس بیشتری برای تولید فرزندان دارند. بر همین اساس، عمل انتخاب والدین انجام می‌گیرد و سپس فرزند به‌وسیله عمل تقاطع روی والدین به وجود می‌آید، سرانجام بعضی از ژن‌های فرزند با عمل جهش تغییر می‌یابد و بعد فرزند جدید جانشین ضعیف‌ترین کروموزوم در مجموعه اولیه می‌شود.
گام‌های اصلی در پیاده‌سازی الگوریتم ژنتیک به‌صورت زیر هستند:
شکل کروموزوم
جمعیت اولیه
تابع شایستگی برای محاسبه تناسب جمعیت
استراتژی‌های انتخاب
عملگرهای ژنتیک[۱۹]
الگوریتم ژنتیک با انبوهی از جواب‌ها سروکار دارد و به‌واسطه داشتن همین خصوصیت امکان اجرای موازی الگوریتم و همچنین مهاجرت بین زیر جمعیت‌ها را که باعث تنوع ژنتیکی می‌شوند فراهم می‌آورد. در این الگوریتم نقاط بر روی مجموعه تعریف می‌شود یعنی اعداد به‌صورت رشته‌های باینری و به طول k بیان می‌شوند. الگوریتم ژنتیک روشی است بر مبنای جستجو در فضای و با بهره گرفتن از تابع توزیع احتمال که این تابع در طول اجرای الگوریتم مرحله‌به‌مرحله به سمت محدوده‌ای که جواب در آن قرار دارد همگرا می‌شود. امروزه الگوریتم ژنتیک دراین‌بین شناخته‌شده‌ترین نوع الگوریتم تکاملی به‌حساب می‌آید، چراکه الگوریتم‌های ژنتیکی اخیراً به‌دقت قابل‌ملاحظه‌ای دست‌یافته‌اند.
امروزه کاربرد الگوریتم‌های ژنتیکی حوزه وسیعی از مسائل بهینه‌سازی در زمینه‌های مختلف فنی مهندسی، علوم اجتماعی را در برمی‌گیرد. الگوریتم ژنتیک را می‌توان هم برای مسائل مقید و هم برای مسائل نامقید بکار برد. برای مسائل بهینه‌سازی استاندارد، صرفاً روشی برای به دست آوردن یک جواب می‌باشد. همچنین می‌توان آن را برای مسائل خطی، غیرخطی و برنامه‌ریزی احتمالی که دارای متغیرهای تصادفی و درجه‌ای از عدم قطعیت است استفاده نمود[۲۰].

الگوریتم تبرید شبیه‌سازی‌شده
در سال ۱۹۵۳ متروپلیس، الگوریتمی را برای ارزیابی تغییرات دمای جسم جامد ارائه داد. او در ابتدا، دمای جسم را بالا برده تا جسم به حالت مذاب درآید و سپس برای کاهش انرژی درونی جسم، اتم‌های جسم را جابجا نموده تا انرژی جسم کاهش یابد. این جابجایی مابین دو اتم انجام می‌گیرد. سپس در همسایگی این اتم، اتم دیگری را انتخاب نموده و با این اتم جابجا کند، انتخاب اتم جهت جابجایی، کاملاً تصادفی صورت می‌گیرد و هیچ ترتیبی برای این کار در نظر گرفته نمی‌شود. در این دما، چندین جابجایی صورت می‌گیرد و وقتی هیچ تغییری در انرژی حاصل نشد، دمای جسم را کاهش می‌دهند. قبل از این‌که دمای جسم را کاهش دهند، تست تعادلی انجام می‌گیرد. درصورتی‌که در اثر جابجایی، انرژی جسم کاهش یابد جابجایی پذیرفته‌ شده ولی در صورت عدم کاهش انرژی این جابجایی با یک احتمال پذیرفته می‌شود.
بعدها در سال ۱۹۸۳، کرک پاتریک، با مشابه‌سازی این الگوریتم، بین کمینه کردن تابع هزینه یک مسئله و سرد کردن جسم تا زمان رسیدن آن به حالت انرژی پایه، از آن برای حل مسائل بهینه‌سازی استفاده کرد. با این جای گذاری، او و همکارانش الگوریتمی به نام تبرید شبیه‌سازی‌شده را برای حل مسائل بهینه‌سازی ترکیبی معرفی کردند. تعبیر فیزیکی تبرید تدریجی، مربوط به فرایند تبرید شبیه‌سازی‌شده در جامدات هست. فرایند تبرید شبیه‌سازی‌شده که منجر به کاهش انرژی در یک جامد است، توسط زگردی و همکارانش به‌صورت زیر تعریف‌ شده است:
در هر مرحله، یک اتم به میزان کمی جابجا شده که این کار منجر به تغییر در انرژی سیستم می‌گردد که با نمایش می‌دهند. اگر باشد، جابجایی دو اتم پذیرفته شده و ساختار جامد یا اتم جابجا شده به‌عنوان نقطه شروع مرحله بعد مورداستفاده قرار می‌گیرد. در حالتی که باشد، به‌صورت احتمالی برخورد می­ شود، بدین معنی که احتمال این‌که ساختار جامد پذیرفته شود با بهره گرفتن از ‏معادله ۲-۳ تعیین می‌گردد.