(۳-۱-۳)
که به راحتی از این معادله به معادله­ زیر می­رسیم.
(۳-۱-۴)
آن را به صورت ساده­تر زیر می­نویسیم.
(۳-۱-۵)
ثابت است. در اینجا برای به دست آوردن نتایج دقیق­تر و بهتر، ضریب رسانندگی k را به جای ثابت فرض کردن، طبق مقاله­ جباری و همکاران ]۱۴[ تابعی توانی از شعاع در نظر می­گیریم.

(۳-۱-۶)
و پارامترهای ماده هستند که به­ترتیب دارای واحد و بدون واحد می­باشند.
رابطه­ ۳-۱-۶ را در معادله­ ۳-۱-۵، جایگذاری می کنیم.
(۳-۱-۷)
اکنون معادله دیفرانسیل بالا را حل می­کنیم.
(۳-۱-۸)
ثابت است. سپس تغییرات دما را به صورت ساده­تر زیر می­نویسیم.
(۳-۱-۹)
همان­طور که مشخص است برای حل کامل توزیع دما و به دست آوردن ثابت­های و نیاز به دو شرط مرزی داریم که آن­ها بدین صورت هستند.
(۳-۱-۱۰)
، دما در نقطه­ی a و ، دما در نقطه­ی b را نشان می­دهد و بااعمال شرایط مرزی در رابطه­ ۳-۱-۹ می­توانیم ثابت­ها را به دست آوریم.
(۳-۱-۱۱)
۳-۲- حل الاستیک
اکنون پس از به دست آوردن توزیع دما وارد حل الاستیک مخزن کروی تحت فشار داخلی و اختلاف دما در درون و روی مخزن می­شویم. و از آن­جا که مخزن، متقارن محوری^[۳۵] در نظر گرفته شده است، تنسور تنش را به صورت زیر می­آوریم؛ یعنی بدون تنش برشی و فقط تنش­های شعاعی و مماسی را در نظر می­گیریم؛ البته با دانستن این موضوع که به علت متقارن محوری گرفتن مخزن تنش­های مماسی و حلقوی­-­ محیطی باهم برابرند.
(۳-۲-۱)
و به ترتیب تنش­های شعاعی و مماسی هستند.
برای محاسبات تنشی نیاز به تنش­های انحرافی داریم که تنسور تنش انحرافی در زیر آمده است.
(۳-۲-۲)
تنسور کرنش­ها که شامل کرنش­های شعاعی و مماسی و محیطی­-­ حلقوی می­باشد را به صورت ماتریس زیر نمایش داده­ایم.
(۳-۲-۳)
می­دانیم که کرنش­ها در حالت الاستیک از جمع کردن دو کرنش حرارتی و الاستیک به وجود می­آیند.
(۳-۲-۴)
، و به ترتیب کرنش­های شعاعی، مماسی و حلقوی - محیطی می­باشند که از جمع پذیری کرنش­های الاستیک و حرارتی به دست می­آیند. و به ترتیب کرنش الاستیک و کرنش حرارتی شعاعی و و نیز به ترتیب کرنش الاستیک و کرنش حرارتی مماسی می­باشند. متوجه­ایم که به علت تقارن کروی مخزن، کرنش مماسی با کرنش حلقوی­- شعاعی برابر هستند.
اکنون آن­ها را در راستای تنسور تنش و تغییرات دما بسط می­دهیم و برای این کار از قانون هوک^[۳۶] استفاده می­کنیم.
(۳-۲-۵)
در اینجا، و به ترتیب ضریب پواسون^[۳۷] و مدول الاستیسیته^[۳۸] و ، ضریب انبساط گرمایی^[۳۹] می­باشند. به علت کم بودن تغییرات ضریب پواسون، از تغییرات آن صرف نظر می­کنیم و آن را ثابت در نظر می­گیریم ولی مدول الاستیسیته و ضریب انبساط گرمایی، به صورت تابعی توانی از شعاع در نظر می­گیریم ]۱۴[.
(۳-۲-۶)
که و پارامترهای ماده هستند که به­ترتیب دارای واحد پاسکال و بدون واحد می­باشند.
(۳-۲-۷)
و نیز پارامترهای بدون واحد ماده می­باشند.
برای استفاده از روابط بالا و به دست آوردن تنش و کرنش­ها نیاز به معادلات پایه­ای داریم که شامل معادلات تعادل و سازگاری می­باشد. برای یک مخزن کروی، معادله­ تعادل و سازگاری به ترتیب زیر می­باشند.
(۳-۲-۸)
(۳-۲-۹)
از رابطه­ ۳-۲-۸ می­توانیم تنش مماسی را به صورت زیر بر حسب تنش شعاعی بنویسیم.
(۳-۲-۱۰)
از رابطه ۳-۲-۱۰ نسبت به شعاع مشتق می­گیریم.
(۳-۲-۱۱)
رابطه­ های ۳-۲-۵ ، ۳-۲-۶ و ۳-۲-۷ را درون رابطه­ ۳-۱-۹ قرار می دهیم.
(۳-۲-۱۲)
رابطه­ ۳-۲-۱۲ را درون رابطه­ ۳-۲-۹ قرار می­دهیم و مشتقات لازم را به دست می­آوریم.
(۳-۲-۱۳)
از رابطه­ های ۳-۲-۱۰ و ۳-۲-۱۱ درون رابطه­ ۳-۲-۱۳ استفاده می­کنیم.
(۳-۲-۱۴)
که با مرتب کردن معادله دیفرانسیل بالا به شکل زیر می­رسیم.
(۳-۲-۱۵)
اکنون با ساده­سازی و درآوردن آن به فرم استاندارد می­توانیم به معادله دیفرانسیل زیر برسیم.
(۳-۲-۱۶)
همانطور که مشاهده می­ شود به معادله دیفرانسیلی دست یافتیم که می­توان آن را به صورت تحلیلی حل کرد؛ هرچند به صورت معادله دیفرانسیل همگن نیست. طریقه­ی حل آن به طور کامل در بخش بعدی همین فصل آمده است.
ابتدا معادله­ همگن زیر را حل می­کنیم.
(۳-۲-۱۷)
معادله دیفرانسیل بالا یک معادله دیفرانسیل اویلر می باشد. آن را به فرم استاندارد در می­آوریم.
(۳-۲-۱۸)