۴٫۷۲

۴٫۸۳

۳٫۹۰

۳٫۸۷

۲٫۹۲

۲٫۹۹

۵٫۳۲

۳٫۸۶

۴٫۱۵

۵٫۰۲

۵٫۱۶

۴٫۰۶

۴٫۰۲

۲٫۹۹

۳٫۰۷

۵٫۶۲

۳٫۹۹

۴٫۳۱

پتروپلوس با بهره گرفتن از مدلهای مکسول ، مکسول گسترش یافته ،هیگوچی و ….تراوایی را در غشاهای ماتریس آمیخته پیش بینی کرده و به مقایسه آن ها پرداخت .در واقع این مقایسه با هدف مقایسه شکل های مختلف معاله مکسول و تاثیر شکل ذرات بر پیش بینی تراوایی با بهره گرفتن از معادله مکسول صورت پذیرفت . نتایج این مقایسه در جدول (۳-۱) آمده است . [۳۳]
همانگونه که از نتایج ذکر شده در جدول(۳-۱) مشخص است در مقادیر پیش بینی شده توسط معادلات مختلف اندکی تفاوت وجود دارد که این نشان دهنده تاثیر شکل ذرات و نحوه ی پراکندگی آن ها بر عملکرد غشاهای ماتریس آمیخته است اما نکته ی قابل توجه در اینجا این است که هیچ یک از مدل های بالا قادر نیستند به صورت کاملا صحیح عملکرد غشاهای ماتریس آمیخته را پیش بینی نمایند و تمامی مدل های گفته شده همان محدودیت های معادله مکسول را ادارا میباشند . همچنین نکته دوم قابل توجه این است که تفاوت زیادی میان پیش بینی با بهره گرفتن از معادلات بالا ندارد و این نشان دهنده ی این موضوع است که شکل ذرات نمیتوانند تاثیر بسزایی بر عملکرد غشاهای ماتریس آمیخته داشته باشند و همانطور که در فصل قبل نیز ذکر گردید تعامل بین ذرات پرکننده و فاز پلیمری میتواند تاصیر زیادی بر عملکرد غشاهای ماتریس آمیخته داشته باشد و شکل ذرات اگر بر تعامل بین دو فاز تاثیر داشته باشد در این صورت میتواند بر عملکرد غشا و میزان تراوایی نیز تاثیرگذار باشد اما چون هیچ یک از مدل های گفته شده در بالا نواقص سطح مشترک ذرات پرکننده و پلیمر را مد نظر قرار نمیدهند بنابراین تفاومت چندانی میان پیش بینی های انجام شده وجود ندارد .

مدل بروگمن
بروگمن در سال ۱۹۳۵ برای تعیین ثابت دی الکتریک مواد کامپوزیت مدلی را ارائه کرد .این مدل همچنین برای تراوایی در غشاهای ماتریس آمیخته نیز توسعه داده شد. [, ] این مدل تاثیر افزودن ذرات پرکننده بر یکدیگر و پراکندگی تصادفی را در نظر میگیرد.[]
بروگمن از رویکرد نظریه متوسط موثر استفاده کرد . این نظریه زمانی مناسب است که تفاوت کمی بین تراوایی در دو فاز وجود دارد ( ).از آنجا که تئوری تراوایی موثر رفتار تراوایی را به عنوان نوسانات تراوایی موثر در نظر میگیرد هیچ تفاوتی بین فاز پراکنده و پیوسته قائل نمیشود. بنابراین این معادله برای پراکندگی با کسر حجمی بالای پرکننده ها معتبر است. []
او با بهره گرفتن از یک معادله معتبر در کسر حجمی کوچک ذرات پرکننده از این فرض که این معادله را میتوان برای محاسبه افزایش بی نهایت کوچک پراکندگی ثابت دی الکتریک پس از اضافه کردن مقدار بسیار ناچیز از پر کننده ها بکار برد،استفاده کرد.قطعه بینهایت کوچک کسر حجمی پرکننده ها را برای پیدا کردن ثابت دی الکتریک با کسر حجمی نسبتا بالا استفاده کرد. مدل بروگمن برای تراوایی در غشاهای ماتریس آمیخته نیز توسعه داده شد[, ]
یا به عبارت دیگر:
پارامتر را به صورت یا تراوش کاهش یافته نیز نشان میدهندو پارامتر نسبت تراوایی گونه در فاز پراکنده به فاز پیوسته میباشد.
برای کسر حجمی پرکننده های روند مشابهی بین مدل مکسول و بروگمن وجود دارد. این نشان دهنده ی این موضوع است که تا ۲۰% بارگذاری پرکننده ها الگوی جریان اطراف یک ذره با حضور ذرات دیگر دچار تغییر نمیشود . در نتیجه استفاده از معادله مکسول به کسر حجمی محدود میشود. اما در بسیاری از مطالعات انجام شده مدل مکسول در کسر حجمی بالاتر هم استفاده میشود.
با عنایت به مطالب فوق الذکر میتوان گفت اگر چه معادله بروگمن برای میزان بالای بارگذاری پرکننده های معدنی قابل استفاده است اما این مدل نیز مانند مکسول قادر به پیش بینی تراوایی در حداکثر بارگذاری ذرات نیست ، علاوه بر این پارامتری برای بیان توزیع اندازه ذرات، شکل ذرات و تجمع ذرات ندارد.علاوه بر موارد ذکر شده معادله بروگمن یک معادله ضمنی است که نیاز به حل عددی نیز دارد . [, ]
مدل لوینگا^[۲۱]
یکی دیگر از کلاس های توصیف ویژگی های سیستم های ناهمگن در معادلات متقارن مدل هایی هستند که بدون تماس بین ماتریس و فاز پراکنده توسعه داده شده اند. و معکوس همان مقدار ثابت را برای توسعه کامپوزیت ارائه میدهند . یکی از این معادلات یکی از این معادلات معادله لوینگا است که برای پراکندگی کروی ذرات ارائه شده است. [۲۲, ۳۳]